中国土木工程学会1998年全国市政工程学术交流会分析大曲率薄壁弯梁桥的板元模式段元法挽元增钱禽泉(东北林业大学土木系)(上海市市政工程质监站)〔提要」本文提出的板元模式段元法是分析弹性薄壁梁桥具有实用价值的通用方法文中建立大曲率板元应变与平截面模式的变形曲率间的关系、横截面上位移形导函数乘积的积分类型、扭翘位移模式等，最后形成对应于基本变形分量的板元截面的刚度矩阵，构成有限段元法解「类铃词1弹性薄壁粱桥大曲率板元位移模式有限段元法1前言弹性薄壁梁桥的分析用经典的弯扭理论、剪滞理论和畸变理论是实用而方便的在此基础上，李国豪教授U1及作者[23对大曲率弹性薄壁梁桥的分析皆做过研究由于主要从整体截面着手，尤其是对主扇形坐标的依赖，使问题复杂化，一般只解决单室问题本文研究采用板元位移模式法，并用有限段元法求解，是具有实用价值的通用方法它既适用于大曲率弯桥又适用于直桥既适用于单室箱桥又适用于多室箱桥以及肋板式桥本文仅从概念上做一介绍，详见待出版的专著2板元模式法概念一般的水平弯桥如图1所示，由各片圆锥曲板组成这些圆锥曲板称为板元以整体截面言，图中用粗线示出一薄壁弯梁桥的横截面，其形心为C点，坐标系CXZ在横截面上，Y轴线为以Ozo为轴心的、过C点的圆周线。
在截面上有截面板元ii它是一片圆锥角为B的曲板，i点的主曲率坐标线0谓如图所示现可以沿板元横截面的线设定位移函数设该板元的宽为a，并取以i点为起点的沿线无量纲的局部坐标轴夸这时i点离圆锥轴线上的0点距离记为aj=a}j，并令二a-Q+0，而J点有9二to为适应服从平截面假设的整体弯曲或拉压变形，沿板元横截面的线可设位移函数:Vo=No二1、二二N、二21一约(1)其中，NoNh为无量纲函数，称为形函数将弹性薄壁梁桥的变形分为按刚性截面和可变形截面两类前者有拉压、两向弯曲、扭转、扭翘、剪滞共六个基本变形，后者即为畸变如拉压和两向弯曲服从平截面假设它是在整体截面上各板元应遵循的位移模式，其它还可以建立起扭翘模式、剪滞模式、畸变模式这种板元位移模式，对各片离散的板元起到提纲掣领的作用，聚集计算自由度，并可按板元算出169·中国土木工程学会1998年全国市政工程学术交流会各种基本变形的内力和应力，能使配筋设计简明和确切，且便于做概念设计圈13平截面模式下板元应变与整梁变形曲率等的关系设沿梁轴线y的任一点的、.y.:向的位移分量为现取一微小弧段dy=R"d凡它的起点为1.终点为2在平截面模式下，该两点的轴向位移差为:d。
兮dvdydy+令dy(2)而截面绕z轴的转角为:du‘Y=_一dy十R(3)该两点的截面绕x轴的转角差为:drpx，9，dZ叨，中dV.12=-dy一‘澎~dy==2dy一}dy(4)过y“找“d少一了R一“、，产该两点的截面扭转角差为:月_，，_卫r」_、_Tz」_dpd功“cpy12二d犷d，十常dy二~dy一dy+Rdv.dy(5)在此基础上，为求得线应变和剪切角，与直梁或小曲率弯梁不同，大曲率弯梁应考虑沿板元横截面各点不同哟初曲率，分别有:、、.，忆、.尹r、116，Jg︸J汀、、f产，、Re二asin万.xR‘，二asinO~zR￡，二asin6.!dv.“、R一ldy十R)=asinO."d_2adyZ·dvRdy卜_xRasin0-S--_PI二dyIRJ--Rasin0K170中国土木工程学会1998年全国市政工程学术交流会P.R_ldq).dw、__Pn尽二7}’asino’kd于+Rdy，J“asino一、当为直板时，有Rasino-1:当为圆柱曲板时有Rasino一普(9)其中，，为该x柱曲板的曲率(l0)(l1)(l2)半径在式(7)、式(8)、式(9)中，有:x=xj}"No一a"sino"Nb:=ak-No一a"coeO"NbP。
二((:一:)coso+(:一:)sin8)-No其中，(二、，:、)为板元的形心坐标(二z)为整体截面的扭心坐标4形导函数乘积的积分类型在大曲率弯梁中，在计算板元的线应变能、剪应变能及板元内力时，可归结为r向和t向乘积型的积分，而沿t向的无量纲积分又可归结为如下三种类型:(13)(14)(l5)IF.=丁NNZ0·‘:+:，·d}IF‘二foIF二{NNZ·d}NN}:+套dg其中，NN:分别为某一形函数或其导函数这三类积分皆可精确地编程算出这样，在板元模式法中，大曲率弯梁沿板元截面的积分已不成问题，再按基本变形的各种模〕七将全截面的各板元的贡献累积之，即可得相应变形的截面特性值对于直桥则可直接采用IFb型积分5扭翘位移模式及其它为适应板元横截面的扭翘，对应于i和i点可设位移函数:V二j-N二"(1一})Vj=viNj二i"}(16)在此将扭翘作为独立于扭转角的一个自由度，，，与经典的Umans6ii理论一致它克服了Vlasov理论中在集中力或支座附近垮大的局部效应，并得到实验的验证在大曲率下，这种扭翘的剪切角为:ll从N、1从戊、、Ynq二气0又丁一丁)十”丁一丁))’””它与扭转的剪切角式(9)一起，形成扭转和扭翘的剪应变为:Y}”Yl+Y}二(Vj}V}f其中，(17)t18)‘“·，二’‘·’‘二(pp-RNasin8a一NNLaa一_1a(。
}T二(‘，q)将各板元的扭翘分量(vvviv矽排队编号成()，就可’‘对号人座”地形成整体截面的扭转171‘.....扭...1.....卜!.毛..Jl中国土木工程学会1998年全国市政工程学术交流会和扭翘总势能的变分为零的式子，有:1SK)[KteKtJ(KYkK.tKtv}二{3Ky=-MYJ0(19)设凡二Iv，二1，并设某一点的m=0和扭心(:‘)待定，于是就可以确定出截面扭翘模式的相对值:}}二一[K〕一’((Kt}一:o"{Kvk}一:·{K%k})(20)接着就可用扭翘位移模式产生的正应力自平衡的三个方程，求得”和(X.2.)o最后完全确定了各节点的扭翘值对于直桥，计算结果与经典的主扇性坐标完全一致，而在此却能自然地确定出大曲率弯桥的扭翘模式剪滞模式:设板元的位移函数为V二"N=v"4(Y一!2)(21)研究表明，可以对各片板元建立起基本上与板元的、a2成正比的翘曲值畸变模式:建立以腹板为核心的肋梁相对错动而相互祸联弯曲的模式，它构成自平衡的体系，可独立于刚性截面的基本变形而形成畸变平衡方程限于篇幅，不做详述6板元截面的应变能式及用有限段元法求解现沿梁轴y取一单位长度梁段，取某一板元相对于基本变形分I的应变能积分，考虑各点的初曲率影响，可得该板元截面的应变能式。
对于线应变按如下次序排列其变形分量:(22)(23)“，’二’afr二(dvay·dudvdYZay令，dv"dvi=91Ydydy对于剪应变按如下次序排列变形分量:(o)=IA[二于是可将板元截面的应变能式写成d9Prdu，，dydy一w一J‘二含(:)〔二:{:.卜合(乙，)}(24)其中，仁El][GJ」为板元截面的刚度矩阵，其元素对应着相应的变形分金上式可以直接对y抽积分现用有限段元法，按变形分量导数的最高阶数及节点位移分量的连续条件，沿y轴对二取三次多项式，对TYvQvp取一次式作为位移函数，不难建立起段元刚度矩阵将其沿梁轴组装成总刚度矩阵以及荷载列阵后，即可得位移解和段元的内力解经由段元的内力解，反求截面的变形分量，再按式(24)板元截面的刚度矩阵，就可求得各板元截面的内力和应力本法已编有计算程序为检验本法的可靠性，采用如下两个算例(单跨简支梁剖分成八个段，的:①文仁3〕的单室直梁模型试验值及计算值，在一侧跨中腹板上作用集中力，其最大正应力点的比较结果列于表1表明本法结果良好②文〔4〕中Kristek的大曲率矩形箱梁用折板理论的计算值，其梁轴曲率半径箱宽二3.4718两腹板上作用着总量相等的均布荷载，比较结果列于表2，表明本法结果良好。
172中国土木工程学会1998年全国市政工程学术交流会衰1:正应力(Nm矛)实验值文[3)解本法解2.092.422.34底板点位折板解本法解表2:正应力〔NI.W)内侧中点0.1260.0490.1160.044外侧0.0320.浦妈3参考文献李国东.大曲率薄壁箱桥的扭转和夸曲，土木工程学报，20卷1期1987年钱寅泉，倪元增薄璧箱形大曲率粱桥理论分析，土木工程学报26卷，期1993年唐家祥周世军薄壁箱梁结构性能的矩阵分析，土木工程学报20卷2期1987年R.Narayartart.PlatedStructuresASP1983173。