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1、北京市西城区2013年高三一模试卷 高三数学（理科） 2013.4第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D） 2若复数的实部与虚部相等，则实数（A）（B）（C）（D）3执行如图所示的程序框图若输出，则输入角 （A）（B）（C）（D）4从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有（A）种（B）种（C）种（D）种5某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（A）（
2、B）（C）（D）6等比数列中，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7已知函数，其中若对于任意的，都有，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）8如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（A）线段（B）圆弧（C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线的直角坐标方程为 10设等差数列的公差不为，其前项和是若，则_11如图，正六边形的边长为，则_ 12如图，已知是圆的直径，在的延长线上，切圆于点，于若，则圆的半径长为
3、_；_ 13在直角坐标系中，点与点关于原点对称点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则_14记实数中的最大数为，最小数为.设的三边边长分别为，且，定义的倾斜度为（）若为等腰三角形，则_；（）设，则的取值范围是_三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数的一个零点是 （）求实数的值； （）设，求的单调递增区间 第 17 页 共 17 页16（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测（）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；（
4、）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望17（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论18（本小题满分13分）已知函数，其中（）求的极值；（）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围19（本小题满分14分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 （）求该椭圆的离心率；（）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点记的面积为，（为原点）的面积为，求的取值范围20（本小题满分13分）已知集合 对
5、于，定义；与之间的距离为（）当时，设，若，求；（）（）证明：若，且，使，则； （）设，且是否一定，使？说明理由；（）记若，且，求的最大值北京市西城区2013年高三一模试卷 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1 B； 2A； 3D； 4B； 5C； 6B； 7D； 8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11 12，； 13； 14，注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：依题意
6、，得， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 7分 8分 9分 10分由 ，得 ， 12分所以 的单调递增区间为， 13分16（本小题满分13分）（）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， 1分所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为2分设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件， 3分则 ，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为 5分（）解：随机变量的所有取值为 6分， ， 10分所以，随机变量的分布列为: 11分 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因为 ， 所以平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 5
7、分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6分在等腰梯形中，可得 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 8分设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）解：线段上不存在点，使平面平面证明如下： 10分假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 14分18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， 1分且 2分 当时，故在上单调递减 从而没有极大值，也没有极小值 3分 当时，令，得 和的情况如下：故的单调减区间为；单调增区间为从而的极小值为；没有极大
8、值 5分（）解：的定义域为，且 6分 当时，显然 ，从而在上单调递增 由（）得，此时在上单调递增，符合题意 8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意9分 当时，令，得和的情况如下表：当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意 11分当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 13分19（本小题满分14分）（）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为 1分设 ，则 2分将 代入 ，解得 3分所以椭圆的离心率为 4分（）解：由（），椭圆的方程可设为 5分设，依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得 7分则 ， 8分因为 ，所以 ， 9分因为 ，所以 11分 13分所以的取值范围是 14分20（本小题满分13分）（）解：当时，由，得 ，即 由 ，得 ，或
