《2009学年第1学期数分的参考标准答案及一些复习公式-(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009学年第1学期数分的参考标准答案及一些复习公式-(2)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2009学年第1学期数学分析的参考答案及一些公式（答案及后面的内容可能会有错，只供参考，也欢迎大家指出其中的错误，第一个指出其中的错误的，可有小小的奖励。也欢迎大家互相交流意见想法，以促进大家学习能力和知识的提高，平时做事（或题）时若有想法，可写一些报告，对自己会有很大的帮助。）一、1.P98存在重极限与累次极限，则它们必相等2. P133 （中值定理）3. 。4. 5. P228 （联系一下格林公式就记住几个了。对比P294的内容，Stokes公式看行列式就可记住了，条件和格林公式一样，是它的推广）二、c d b b b 三、1. 2、3、 （这题难度大，与P186的例5类似，也考察不定积分
2、的有理式积分，前半部分可下个学期再看，后面的计算已学过，可回顾相关的内容，另外交换积分次序也学过了，课本有相关的例题和习题）4、 （直接计算非常麻烦（也许暂时还解决不了），用格林公式就很简单，注意到，因此可以用积分与路径无关，选择另外的路径去积分）5、6、（补充一个面后构成封闭曲面，然后用Gauss公式转化成体积分（），再减去补充上的那块面积分（）。要理解好面积分的意义P280、P284、286，懂得计算。在计算时这里用到（柱坐标变换P248、249）以化简计算。Gauss公式和Stokes公式是很重要的，Green公式是Stokes公式的二维情况，联系一下物理的电通量、磁通量、电势、环路定理
3、等内容就很清楚它的应用了）。四、（1）（直接由定义做，不能用梯度去算，可微性未知）（2）连续，不可微（很机械的做法P94.P111。若可微，求方向导数也是很机械的做法（梯度与单位向量的点积），P126）五（P111、定理17.2可认真地看看这节的内容，上面的选择题也考到）复习反常积分的报告反常积分：P265它是定积分的推广，（定积分的定义是非常严格的，可看P202，它首先是在闭区间内，然后是任意分割，在分割上任意取点，最后求积分和，再看模T趋于0时的极限是否存在，存在的极限就是f在这区间的定积分），也正是由于定积分的严格性，才可以使得反常积分的定义很清晰，是变限积分（p220,是个函数）的极限
4、，极限存在就说收敛。无穷积分和瑕积分是可以相互转化的，如例3，例6，只要作变换t=1/x，就可以了。这两个例子有很强的代表性，要记住结论，画出函数图可快速理解（P266的图11-4），他们有相对性，刚好相反。无穷积分和瑕积分的性质、收敛判别有很强的相似性（因他们可以相互转化），一些结论是相反的，不过都可以统一起来。故可以对照记忆，学习（柯西准则、比较法则，这些都可以直观地理解和推导）。P273的定理11-3的证明，是根据柯西准则，其中用到了积分第二中值定理（P222）这工具，课本用到了它的推论，也可以直接用这定理，分情况1、若g单调递减，则g=0; 2、若g单调递增，则g=0;应用定理的第一点
5、就可以了。课本的例题，很经典，要会做，习题要抽一点做。(P274的例3、4，重要，可以用matlab去画一下图像，对后面的级数学习有帮助，例4的条件收敛，是因为x越大图像振荡得越激烈。然而这些性质不能移植到二重以上的函数积分，也就是没有了条件收敛可看P下270，这原因是由于反常二重积分的定义（P下266）引起的，它的那个封闭曲线很复杂，在外的部分可以几乎把f正的部分（或负的部分）的区域包围起来，而逃开负的部分，这使得不会出现条件收敛。所以，在计算反常二重（以上）积分时，要先进行收敛判别，然后才能进行计算。这作为拓展思维。）找到的一些题目（可抽一些做，另外条件极值也是要考的内容，可在课本上选一些
6、来做）一、(10%)指出下述四种积分的物理意义:(1) (2) (3) (4) 四、求函数的极值和极值点处的泰勒公式。(12分)五、作变换，将方程变换为关于自变量的方程。(8分) （3）设定义在矩形区域上，若对在上处处连续，对在（且关于）为一致连续，证明在上处处连续。(10分)一、（10%）判别下列积分的敛散性：（1） （2）(5) ,其中是四面体的表面;(6),其中是四面体的表面,外法线是正向.四、 (10%)设求.一、（10%）判别下列积分的敛散性：（1） （2）四、(10%)设(),其中为连续函数,求.空间解析几何和向量代数：2.两个向量垂直、平行的充要条件3.向量的方向余弦，两向量的夹
7、角余弦公式多元函数微分法及应用的求导P150,按照例2的步骤去做可以减少一些运算量的，可做做P152的4，5，上面的隐函数的公式从本质上是解方程组得出来的P153，但可以有巧记的方法全都有-1/J,J是未知的隐函数的雅可比行列式，这只是形式的推导，可让我们方便地写出公式（不能代替解偏导的方程组的的过程），当然你也可以有自己更好的记忆方法（欢迎交流）。有了这个基础P155，的18.5就好记忆了，可推导出来x,y 是隐含的由（12）可知，后面的公式（13）就可以有上面的几条推出了。当然也可以去求偏导，解偏导的方程组（这个解方程组也是很方便的）。P161的公式（8）的导数也可按上面的方法去记忆或推导
8、微分法在几何上的应用：记住曲面上的某点的法向量其中一个就是该点的梯度，运用在平面上的曲线求法向量也是梯度。方向导数与梯度：（三维） 梯度方向导数方向导数的存在条件如果函数在点可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：1.二重积分的物理意义所占区域为D面密度为的平面薄片的质量2.二重积分的计算（化为二次积分）（1）直角坐标系下若D为X型区域，则若D为Y型区域，则（2）极坐标系下若，则3.交换积分次序（1）根据二次积分写出积分区域表达式（2）根据积分区域表达式画出积分区域（3）将需要的区域表达式形式写出来（4）写出相应的二次积分4.三重积分的计算（化为三
9、次积分）（1）直角坐标系下先算一重积分后算二重积分若在xOy面上的投影为，上下曲面方程分别为，则先算二重积分后算一重积分若在z轴上的投影为，用垂直于z轴的平面截积分区域得，则（2）柱面坐标系下若在xOy面上的投影在极坐标系下为，上下曲面方程分别为，则（3）在球面坐标系下5.利用对称性可以简化积分的计算积分区域关于对称，则是x的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于对称，则是y的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于对称，则是z的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍6.重积分的应用（曲面面积）曲面在xOy面上的投影为，则 P
10、109的偏导数的几何意义要看一看用它可以去算出小切平面的面积P252中，课本给出了一种方法，也可用偏导数的集合意义，写出切平面的两边的向量形式，然后求外积就得到了面积。P254的参量方程的面也可了解一下，对P281的曲面积分的计算公式的理解有帮助。（当然也可不了解，直接去记住公式，用就行了）柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：其中为曲面法向量的方向余弦P286 的计算公式，两类积分的联系在Stokes公式的证明中有用到。应用（1）将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分再计算；应用（2）将对不同坐标的曲面积分化为对同种坐标的曲面积分高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：一个数量函数
11、的梯度的旋度为零，这可以写一写的，证明很简单。P295的例3，很经典，思路基本固定，做题时要注意试用条件，定理22.5；也可以有其它的方法，但这种方法较简单。Gauss和Green公式都可以顺逆着用，但Stokes公式基本上由线积分转化成面积分，因为逆过程要求解偏微分方程组，不容易。(线积分与面积分可以写在一起对照记忆)（对于导数，要掌握好反函数和复合函数的求导法则。积分是微分的逆运算，要掌握好换元积分法和分部积分法）高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：（这个表完全可以自己画一个单位圆，然后推导出来，不用过于去记忆）诱导公式： 函
12、数角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：（这是根据和差角公式得出来的，a=(a+b)/2+(a-b)/2,b=(a+b)/2-(a-b)/2，代入即得到）倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的
13、近似计算：定积分应用相关公式：这是课本的一道题（不同的方法的计算量会差别很大，根据积分区域及积分函数的特点选择适当的方法去计算，可减少计算量，平时多点思考，总结）三.计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域解答1：由立体的形状及积分函数的特点，选先算二重积分再算一重积分的方法，把z放在最外层积分。在z轴上的投影为，当时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面为；当时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面为，从而解答2：用柱面坐标系计算在xOy面上的投影D为，又，因此（计算线积分时，计算一下是否有成立，若成立可选择其它路线积分，以达到减少计算量，（对于空间曲线就要考察是否为零），当然若不为零，就要根据定义算了，写出积分路线的参数形式，然后代进去算就行了）四.计算曲线积分，其中为下半圆周，沿顺时针方向解答：直接计算非常麻烦，用格林公式就很简单，注意到，因此可以用积分与路径无关设为，x从3到-1，由于，因此积分与路径无关。而L与的起点终点相同，从而
