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1、第一章 函数与极限第一节 映射与函数1.填空题: （1）函数与其反函数的图形关于 对称.（2）函数的定义域为_； （3）若的定义域是0，1，则的定义域是 0 . （4）设，则 a . （5）若则 ， x .（6）函数的反函数为 。（7）函数的定义域: x0，值域: 0y1 ，反函数: x=-ln(1-y2), 0y12. 选择题: （1）下列正确的是：(B，C )A.与是同一函数. B.设为定义在上的任意函数，则必为偶函数，必为奇函数. C.是的奇函数. D.由任意的及必定可以复合成为的函数. . （2）是( A ).A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设，
2、若，则b为( B ).A.1； B.1； C.2； D.2.（4）函数的定义域是（ ）(A)； (B)； (C)； (D).（5）函数的定义域是（ ）(A)； (B);(C); (D).（6）函数是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.（7）函数的最小正周期是（ ） (A)2； (B)； (C) 4 ； (D) .（8）函数在定义域为（ ）(A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 ； (D)有界，且 .（9）与等价的函数是（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) .3设（1） 试确定的值使 ；（2） 求的表达式 解. 4求的反函
3、数.解：5设，求的定义域及。6已知，求.解：；7设的定义域是，求下列函数的定义域： （1） 解：由的定义域为. （2）解：由的定义域为. （3） 解：由的定义域为. （4）解：由的定义域为.8设 -，求解：. ，而，故. ，而，故. .9.设，求和，并作出这两个函数的图形.解： 10.设,求解： 即：11，。求，解：=；=，12 求=13设满足，求解： （1）令 得 （2）由（1）和（2）得； 14把半径为的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为的函数. 解：设圆锥的半径与高分别为，则由图知R，即 . 从而， 故15 利用的图形作出下列图形：（1）；
4、（2）； （3）. 16设由复合而成的，证明：（1） 若是偶函数，则是偶函数。（2） 若单调增加，单调减少，则单调减少。第二节 数列的极限1.填空题: （1） 设数列的一般项，则 0 . （3） 0 . （4）已知，则= 0 ，= 6 .（5）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：数列有界是数列收敛的必要条件. 数列收敛是数列有界的充分条件. 2选择题: （1）若数列有极限，则在的邻域之外，数列中的项(B).A.必不存在； B.至多只有有限多个； C.必定有无穷多个；D.可以有有限个， 也可以有无限多个. （2）“对任意给定的e（0，1），总存在正整数N，当时，
5、恒有”是数列收敛于的(D).A. 充分但非必要条件； B.必要但非充分条件； C. 既非充分也非必要条件； D.充分必要条件.（3）下列正确的是(B. D. )A.若数列和都发散，则数列也发散. B.在数列中任意去掉或增加有限项，不影响的敛散性. C.发散数列必定无界. D.若从数列中可选出一个发散的子数列，则该数列必发散. 3. 根据数列极限的定义证明: （1）； （2）.4. 若，证明.并举例说明反之不成立.5. 设数列有界，又，证明:.第三节 函数的极限 1填空题: （1）设，则 b ， 1 . 当 1 时，. （2）设，当 时，是无穷小量，当 1 时，是无穷大量。 （3），当且仅当是无
6、穷小 . （4）当时的右极限及左极限都存在且相等 是存在的 充分必要 条件. （5）在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为 无穷小 .（6）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：在的某一去心邻域内有界是存在的必要条件. 存在是在的某一去心邻域内有界的充分条件. 在的某一去心邻域内无界是的必要条件. 是在的某一去心邻域内无界的充分条件. 当时的右极限及左极限都存在且相等是存在的充分必要条件.2选择题: （1）若存在，则(A ).A.必在的某一去心邻域内有界； B.在的某一邻域内一定无界； C.必在的任一邻域内有界； D.在的任一邻域内无界 （2）若，则( C
7、 ).A.在的函数值必存在且等于； B.在的函数值必存在但不一定等于； C.在的函数值可以不存在； D.如果在的函数值存在，则.（3）下列正确的是：(D. ).A. 无界变量必为无穷大. B.若且，则必有. C.若，且，则在的某邻域内，恒有.D. 无穷大必为无界变量.（4）（ ）A.1； B.-1； C.0； D.不存在.（5）当时，变量是（ ）A.无穷小量 B.无穷大量 C.有界但非无穷小量 D.无界但非无穷大量 (6)设，则存在，当时有（ C ）成立。A. B. C. D. 3.根据函数极限的定义证明: （1）； （2）； （3）； （4） . 4求，当时的左右极限，并说明它们在 时的极限
8、是否存在?解：不存在， 5证明不存在.6.函数在（-，+）内是否有界，这个函数是否为x + 时的无穷大？为什么？第四节 极限运算法则1 选择题: （1） 设数列收敛，发散，则下列断言正确的是(B ).A. 必收敛； B. 必发散；C. 必收敛； D. 必发散. （2） 已知x 时，发散，则x 时(D ).A. 若发散，则必发散； B. 若发散，则必收敛；C. 若收敛，则必收敛； D. 若收敛，则必发散. （3） 若，则下列断言正确的是( C ).A.当为任意函数时，有；B.仅当时，才有；C.当为有界函数时，有；D.仅当为常数时，才能使成立.（4）下列正确的是(E ).A.若在某个过程中，与都无
9、极限，则+必无极限.( ) B. ( ) C.若，则必有或者. ( ) D. ( )D. ( )E.若在某个过程中，无极限，有极限，则+必无极限.( )（5）设则= ( ) A-1 ； B.1 ； C.0 ； D.不存在 .（6）当时。函数的极限是（ ）A0 ； B. ； C. ； D.不存在但不是无穷 .2计算下列极限: （1）解：-1（2）解：0（3）解： （4）解：0（5）解： （6）解：-1（7）解：（8）解：（9）解：1（10）解：43证明解：不存在4证明不存在.5若，求的值.解：a=1， b= 1.6 第五节 两个重要极限 无穷小比较1 选择题:（1） 下列正确的是（A，E ） A
10、.若，且时，时 ，则.B.若数列单调上升且有下界，则数列必收敛. C.数列收敛的充分必要条件是数列为单调有界. D. E.因为，所以当时，是关于的二阶无穷小.（2） 设，则当时（ B. ）. A.与是等价无穷小. B.与同阶但非等价无穷小. C.是比高阶的无穷小. D.是比低阶的无穷小.（3）当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ） A.； B.； C.； D. （4）当时，与等价的无穷小（ ） A.； B.； C. 2； D. 2计算下列极限: （1）解： （2）（k为正整数）解： （3）解：（4）解：e （5）解： （6）解：1 （7）解： （8）（为正整数）解： （9）解：左极限为： ，右极限为： 。所以原极限不存在。 （10）3利用等价无穷小性质求极限. （1）；解： （2）；解： （3） ； 解： .
