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1、求极限的若干方法摘要极限概念是微积分中最重要、最基本的内容之一，很多重要的概念如连续、导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础之上的.因此极限运算是微积分的基本运算，而求极限的方法也就值得我们深入探讨.本文在数列和一元函数极限的定义和性质的基础上，全面概括了常见的数列和一元函数的极限的一般求法.我们结合相关的实例，展示了各种求法的应用技巧和适用对象，并指出了在运用该方法时应注意的一些问题，文中的内容对数学专业的本科学生有较好的参考价值和应用价值.关键词极限；方法；应用Several Methods for Finding LimitAbstractThe concept of limit is
2、 one of the most important and basic content in calculus, and many important concepts are based on it such as continuous, derivative, integral, etc. Therefore operation of limit is the basic operation in calculus and the methods for finding limit are also worth to be studied in detail. In this paper
3、, based on the concepts and properties of limit, we summarize the common method for find limits of sequences and one-variable functions. The application skills and suitability are shown by some examples and the relative aspects in the progresses are emphasized as well. The paper has some reference a
4、nd application value to mathematical undergraduate students.Key wordsLimit；methods；application271 前言极限最早的概念，在国外有所谓穷竭法，在中国有所谓割圆术，即把圆近似地割成边数很多的正多边形来计算圆面积.魏晋时代的刘薇就说过：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.后来和微积分同时产生，而且用得最多的一种运算，就是无穷多项相加.它可以理解为有限项的相加，但是越加越多，最后看它的变化趋势，这就是数列极限.把数列极限的思想用来观察求瞬时速度的推导，研究平均速度的变化趋
5、势，从而建立一套从平均速度求瞬时速度的计算方法，这就是一元函数极限.在研究求极限的方法之前，我们先来了解数列极限和一元函数极限的概念以及相关的性质.数列极限的定义：设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数,使得当时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记作，或.数列极限的性质：（唯一性） 若数列收敛，则它只有一个极限.（有界性） 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有.（保号性） 若（或），则对任何（或），存在正数，使得当时有（或）.（保不等式性） 设和都为收敛数列.若存在正数，使得当时有，则.（夹逼准则） 设数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有 ，则数列收敛
6、，且.函数极限的定义：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作，或.函数极限的性质：（唯一性） 若极限存在，则此极限是唯一的.（局部有界性） 若极限存在，则在的某空心邻域内有界.（局部保号性） 若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）.（保不等式性） 设和都存在，且在某邻域内有，则.（夹逼准则）设，且在某内有，则.2 求极限的方法在微积分中，极限的概念占有重要的地位，许多重要的概念如连续、导数、定积分广义积分等都是用极限来定义的.因此正确理解极限的内涵，掌握极限的求解方法是学好微积分的基本要求.然而求极限的方法因题
7、而异，灵活多端，有些问题甚至会让人感到无从下手，下面将介绍一些求极限的一般方法和技巧，并结合一定实例，展示相关方法和技巧的基本应用.2.1 利用极限定义求极限用极限定义求极限，是极限问题的一个难点，它要求我们对极限的定义有深刻的认识，并完全理解其内涵.而做这类题目时，关键是对任意给定的正数，如何找出定义中相应的或.这实际上是利用逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力.例2.1 用定义证明：若，则.证明 由知，对， ，当时，有 .固定，当时，有 其中，对固定的而言，它是一个确定的常数.故对上述，,当时，有.从而 .注 例2.1的结论是十分有用的，利用它可以迅速求出一些极限.例如：1 ； 2 .
8、例2.2 证明.证明 当时，有.若限制于，此时，则.于是，对，只要取，则当时，便有. 注 在解决此题时，我们应清楚地认识到我们实质上是在讨论函数在处的某邻域内的性质，因此可将限制于中.2.2 利用单调有界定理1证明极限的存在性单调有界定理 在实数域中，有界的单调数列必有极限.在这个定理中，可以理解为两个部分.第一、有上界的递增数列必有极限，且其极限即为它的上确界；第二、有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.例2.3 证明数列，的极限存在，并求其值.证明 显然数列单调递增.下面用数学归纳法证明有上界. ，设，则 ，即数列有上界.由单调有界定理可知，的极限存在，设.在中，令得，解之得
9、.注 用单调有界定理证明极限存在时，一般用数学归纳法证明该数列有界.例2.4 设，证明数列收敛，并求其极限.证法1 假设的极限存在，并设为，则，即,.因为，故.若，则；若,则.由知，,而.下面将证明：.事实上， 而的根为,故 即以为上界，以为下界，故它们的极限都存在，分别设为.由 , ，取极限可得, ，故.注 下面介绍一个有用的命题.设数列满足压缩性条件： ，则收敛.这个命题的证明，用柯西收敛准则很容易得到.证法2 注意到，有 .由上面命题可知，存在.在已知的等式两边取极限，解出该方程舍去负值，可得.2.3 利用夹逼准则求极限当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，作适当的放大和缩小，使放
10、大、缩小所得的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同.则原极限存在，且等于此共同的极限值.例2.5 求，其中表示不大于的最大整数.解 ，当时，由此当时， ，当时， ，故 .例2.6 求极限.解 记，则 ，所以 ，即 .故 .所以 .2.4 利用恒等变形和极限运算法则8求极限恒等变形通常是指约简分式、分子或分母有理化及三角函数变换等.利用极限运算法则时应特别注意法则的适应条件.各项极限都存在，且和、积运算只能在个数有限的条件下进行.例2.7 求.解: 2.5 利用柯西（）准则1证明极限柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有 .柯西准则的优点是可以在不求出极限值的前提
11、下，判断数列的收敛性.例2.8 证明：任一无限十进小数的位不足近似（）所组成的数列 （1）满足柯西条件（从而必收敛），其中为0,1,2，9中的一个数，.证明 记.不妨设，则有 对任给的，取，则对一切有 .这就证明了数列（1）满足柯西条件.注 柯西准则的否定形式 数列发散的充要条件是：存在，对任意的正整数，存在为正整数，且，有 .柯西准则的否定形式可以用来证明极限不存在.例2.9 证明不存在.证明 由柯西准则，要证不存在，即要证明：，使得.取，令，其中表示取整数部分，则，且 .这表明发散.2.6 利用施图兹（）定理4求极限施图兹定理 设是单调增加的无穷大量，且 （可为有限量，也可为或），则 .证
12、明 先设，由可知，存在，当时有 ，特别取有， 将这些式子相加得，所以 ，即 . (2.1)而 ，由于以及(2.1)式，所以 ，.由夹逼准则可知，故 .再当时，由有 ， (2.2)所以 . (2.3)下证递增趋于，有(2.2)知，,当时，有 . (2.4)因为 ，所以 ，即单调递增.由(2.4)知 ，从而 将这些式子相加得，所以 .显然当时，.由(2.3)式及上面的结论有，所以 .当时，只要令，则由上面可证.例2.10 求极限： （为自然数）.解 令，由 所以有施图兹定理可知，原极限=.注1 施图兹定理在处理一类复杂数列的极限时，非常方便！注2 本例也可以用定积分的定义求解.事实上，取，将和式看
13、做是在0,1上相应于等分的积分和即可，即 .2.7 利用初等函数的连续性求极限由于一切初等函数在其定义区间内连续，因此求初等函数在其区间内的点处的极限时，直接可得.例2.11 求.解 由于，而函数在处4连续，故.注 若时，函数在点是间断的，则不能直接代入计算，应根据具体函数的特性，对它进行是当地变形，设法消去分子、分母相同的无穷小量后，成为新的连续函数，再利用函数连续性求出函数的极限.2.8 利用函数左右极限7求极限对于求分段函数在分段点处的极限时，通常要分别讨论它的左右极限.当左右极限存在且相等时，函数的极限等于这个值；当左右极限不相等或至少有一个不存在时，原极限不存在.例2.12 求函数在分段点处的极限.解 ， ， 因为，故不存在.2.9 利用归结原则（海涅定理）1证明函数极限的存在性归结原则
