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1、基于FDTD算法仿真光纤导波模式的研究第1章 绪 论1.1 研究背景及意义 自1873年麦克斯韦(Maxwell)建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和应用的发展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究已深入到各个领域，应用十分广泛，例如无线电波传播、光纤通信和移动通信、雷达技术、微波、天线、电磁成像、地下电磁探测、电磁兼容，等等。电磁波在实际环境中的传播过程十分复杂：例如各种复杂目标的散射，复杂结构天线的辐射，在波导和微带结构中的传播，实际通信中城市环境、复杂地形及海面对电磁波传播的影响，等等。具体实际地研究电磁波的特性有着十分重要的意义。实验和理论分析计算是相辅相成的重要手段。分析计算途径需
2、要结合实际环境电磁参数求解麦克斯韦边值问题，通常只有一些经典问题有解析解。应当说，解析解具有重要指导意义。然而，由于实际环境的复杂性，往往需要通过数值解得到具体环境下的电磁波特性。 1966年K.S.Yee首次提出了一种电磁场数值计算的新方法时域有限差分(Finite Difference Time Domain，FDTD)方法。对电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个E(或H)场分量周围有四个H(或E)场分量环绕，应用这种离散方式将含有时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。Yee提出的这种抽样方式后来被称为Yee元胞。FDT
3、D方法是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计算中将空间某一样本点的电场(或磁场)与周围格点的磁场(或电场)直接相关联，且介质参数己赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。同时，FDTD的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化结果清楚地显示了电磁波传播的整个物理过程，便于分析和设计。1.2 FDTD的发展与应用经过四十多年的发展，FDTD已发展成为一种成熟的数值计算方法。在发展过程中，几乎都是围绕几个重要问题展开的，即数值稳定性、计算精度、数值色散、激励源技术以及开域电磁问题的吸收边界条
4、件等。数值稳定和计算精度对任何一种数值计算方法都是至关重要的。A.Taylor和M.E.Brodwin4利用本征值方法给出了直角坐标系下FDTD的空间步长与时间步长之间的关系。X.Min等5研究了存在边界条件时FDTD的稳定性问题。对于数值色散，与实际的物理色散不同，它是由电磁场量在空间和时间上的对波动方程作差分近似处理造成的。这种色散引起的误差造成在计算区域内传播的电磁波逐渐畸变67。K. L.Shlager 等8比较了二维和三维空间中几种正交网格算法的色散误差。当采用其他变形或非正交网格时，必须重新分析其数值稳定性和色散特性911，P.Monk 和 E.Suli12分析了不均匀长方体网格算
5、法的稳定性。激励源的设计和引入也是FDTD的一个重要任务。目前，应用最广泛的激励源引入技术是总场/散射场体系12。对于散射问题，通常在FDTD计算空间中引入连接边界，它将整个计算空间划分为内部的总场区和外部的散射场区，如图1-1。利用Huygens原理，可以在连接边界处引入入射场，使入射场的加入变得简单易行。图1-1开域电磁问题中，为了在有限的计算空间内模拟无限空间中的电磁问题，必须在计算空间的截断边界处设置吸收边界条件。吸收边界条件从开始简单的插值边界，已经发展了多种吸收边界条件。在早期得到广泛应用的是G.Mur13的一阶和二阶吸收边界条件，它是基于B.Engquist和A.Majda14的
6、单向波方程而提出的差分格式，在FDTD仿真区域外边界具有0.5%到5%的反射系数。目前应用最广泛的是J.P.Berenger15-17的分裂式完全匹配层，以及Z.S.Sacks等18和S.D.Gedney20的各向异性介质的完全匹配层，它们可使FDTD模拟的最大动态范围达到80dB。另一方面，为了更好的拟合研究对象的形状，克服台阶逼近带来的误差，D.E.Merewether19提出了柱坐标系下的网格剖分方法，R.Holland20提出了球坐标系下的网格剖分方法，P.Monk和E.Suli12提出了变网格步长方法，S.S.Zivanovic等21和P.Thoma等22提出了亚网格技术（即在一般区
7、域采用粗网格，在电磁场快变区域采用精细网格）。利用这些技术，可以更精确地模拟各种复杂的结构，适应各种复杂的介质，提高了复杂介质中数值计算的精度。时域模拟一般获得的是近场电磁信息，为了得到诸如天线方向图或散射体雷达散射截面之类的远场信息，必须获得计算区域以外的频域场或瞬态场。多位学者在这方面做了许多工作，发展了一种高效的时域近远场变换方法23-26。借助这种方法，可以实现由计算区域内近场数据到计算区域外远场数据的外推。目前，粗糙面散射的FDTD，传递函数在FDTD中的应用，周期介质、各向异性介质、色散介质和含有集中元件的FDTD，以及网络并行FDTD技术等方面也取得了很大进展。FDTD在迅速发展
8、的同时，也获得了非常广泛的应用。目前，它几乎被应用到了电磁场工程中的各个方面，例如：电磁散射、生物电磁计量学、辐射天线的分析、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面的计算、周期结构的分析、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲传播和散射的分析、以及微光学元器件中光的传播和衍射特性的分析等。随着新技术的不断提出，其应用范围和成效正在迅速地扩大和提高。第2章 FDTD的基本原理Maxwell方程是描述宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程即可以写成微分形式，又可以写成积分形式。FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在
9、一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩2.1 Maxwell方程和Yee元胞根据27中电磁场基本方程组的微分形式，若在无源空间，其空间中的媒质是各向同性、线性和均匀的，即媒质的参数不随时间变化且各向同性，则Maxwell旋度方程可写成： （2-1a） （2-1b）式中，E是电场强度，单位为伏/米（V/m）；H是磁场强度，单位为安/米（A/m）；表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m）； 表示磁导系数，单位为亨利/米（H/m）；表示介质电导率，单位为西门子/米（S/m）；表示导磁率，单位为欧姆/米（）。在直角坐标系中，（2-1）式可化为如下六个标量方程： （2-2） （2-3）这六个
10、偏微分方程是FDTD算法的基础。 K.S.Yee3在1966年建立了如图2-1所示的空间网格，这就是著名的Yee氏元胞网格。在FDTD中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图2-1所示。由图可见，电场和磁场分量在空间交叉放置，使得在每个坐标平面上每个电场分量被磁场环绕，每个磁场分量也被电场环绕。这种电磁场的空间结构与电磁感应和电磁波传播的规律相符，在每一个网格单元都能满足法拉第感应定律和安培环流定律。各分量的空间相对位置也适合于Maxwell方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。同时，电场和磁场在时间上交替抽样，抽样时间间隔相差半个时间步，使Maxwell旋度方程离散以后构
11、成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。因此，由给定相应电磁问题的初始条件，FDTD就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。图2-1Yee氏网格及其电磁场分量分布 引入如下的差分近似方法对（2-2）、(2-3)式中的六个偏微分方程进行了差分离散。令代表E或H在直角坐标系中某一分量，在时间和空间域中的离散可记为 （2-4）式中，、和分别是长方体网格沿x、y、z方向的空间步长，是时间步长，i、j、k分别是沿x、y、z方向的网格编号，n是时间步数。对关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，具有二阶精度，即 （2-5a） （2-5b） （2-5c） （2-5d）
12、2.2 FDTD的基本差分方程根据上述原则，可将（2-2）、（2-3）式离散为如下的差分方程形式： （2-6a） （2-6b） （2-6c） （2-6d） （2-6e） （2-6f）式中， （2-7a）， （2-7b）(2-6)式就是FDTD的基本差分方程组。2.3 数值稳定性2.3.1 时间离散间隔的稳定性要求 考虑时谐场情况 （2-3-1）这一稳态解是下面一阶微分方程的解： （2-3-2）用差分近似代替上式左端的一阶导数，上面方程变为 （2-3-3）定义数值增长因子q为 （2-3-4）代入（2-3-3)式得 （2-3-5）它的解为 （2-3-6）如果差分方程（2-3-3）式的解趋于解析解（
13、2-3-1）式，则，于是增长因子q应为 （2-3-7）上式表明数值稳定性要求在时间步，足够小时增长因子，则其充分条件为 （2-3-8）2.3.2 Courant稳定性条件从麦克斯韦方程可导出电磁场任意分量均满足齐次波动方程 （2-3-9）考虑平面波的解 （2-3-10）采用有限差分近似 （2-3-11）因此（2-3-6）式被离散为 （2-3-12）上式又可改写为 （2-3-13）其中用到了（2-3-6）式。亦即 （2-3-14）此式即为空间和时间的离散间隔之间应满足的关系，又称Courant稳定性条件。其中C是电磁波的相速度，若采用等间隔离散，即，则有。在具体的空间步长选择上，一般要满足数值色散对空间离散间隔的要求： （2-3-15）其中是无色散介质中的波长。2.3.2 数值色散 FDTD方程组是对Maxwell旋度方程进行差分近似，在进行数值计算时，将会在计算网格中引起数字波模的色散，即在FDTD网格中，电磁波的相速与频率有关，电磁波的相速度随波长、传播方向及变量离散化的情况不同而改变。这种关系由非物理因素引起，且色散将导致非物理因素引起的脉冲波形畸变、人为的各向异性和
