《2+1维非线性薛定谔方程的环孤子_dromion_呼吸子和瞬子》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2+1维非线性薛定谔方程的环孤子_dromion_呼吸子和瞬子（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(2 + 1)维非线性薛定谔方程的环孤子, dromion ,呼吸子和瞬子 3 阮航宇 1)2) 陈一新 2) 1) (宁波大学物理系,宁波 315211) 2) (浙江大学近代物理中心,杭州 310027) (2000年9月5日收到) 利用分离变量法,研究了(2 + 1)维非线性薛定谔(NLS)方程的局域结构.由于在B?cklund变换和变量分离步 骤中引入了作为种子解的任意函数,得到了NLS方程丰富的局域结构.合适地选择任意函数,局域解可以是 dromion ,环孤子,呼吸子和瞬子. dromion解不仅可以存在于直线孤子的交叉点上,也可以存在于曲线孤子的最近邻 点上.呼吸子在幅度和形状上
2、都进行了呼吸. 国家自然科学基金(批准号:19875041) ,浙江省自然科学基金(批准号:100033) ,教育部中青年骨干教师专项(批准号:C0001)资助的课题. 通讯地址. 关键词:非线性薛定谔方程,分离变量法,孤子结构 PACC: 0230 , 0340 1 引言 (1 +1)维孤子和孤波解已被人们熟知,并广泛应 用于物理学的众多领域,如凝聚态物理、 流体力学、 等 离子体物理、 纤维光学等1.在(2 + 1)维情况下,许多 有实际物理意义的可积模型也已在非线性物理中建 立2 5.最近 ,由于Boiti等人6的开拓性工作,(2 + 1) 维模型中指数局域的dromion解引起了人们极
3、大的 关注.一般而言,dromion解由直线孤子形成,dromion 位于两条直线的交叉点上7 ,8.文献9 ,10中指出 dromion也可以由曲线孤子形成.从对称性研究中,发 现(2 +1)维可积模型的对称结构远比(1 + 1)维可积 模型丰富.这就给了一个启示,(2 + 1)维可积模型应 该存在一些尚未发现的相干结构. 本文的兴趣是探索(2 + 1)维NLS方程 uxx= uQx-iut,(1) u 3 xx= u 3 Qx+iut, Qy= uu 3 的孤子结构. (2 + 1)维NLS方程是众所周知的 (1 + 1) 维NLS方程非各向同性Lax可积的推广.该方程 可以从KP方程的对
4、称限制中获得11. 寻找非线性偏微分方程特殊解有许多可行的方 法,最重要的一些方法是反散射变换、 双线性方法、 对称约化、B?cklund变换和Darboux变换12 15. 在 线性物理中,傅里叶变换和分离变量法是两个重要 的方法.反散射方法是傅里叶变换方法在非线性物 理中的推广.分离变量法在非线性物理中的推广,直 到最近才在两个方向有所发展.一个方向是形式变 量分离法16,在这种方法中独立变量并没有实现真 正的分离.第二个方向是本文所采用的独立变量实 现真正分离的分离变量法17. 2 NLS方程的变量分离步骤 为了利用分离变量法,现在做下面的B?cklund 变换: u = g/ f +
5、u0, Q = -2(ln f ) x+ Q0, (2) 式中f和g分别为实函数和复函数, u0, Q0为 NLS方程的一个任意的已知解,在(2)式的变换下, NLS方程(1)成为双线性形式 ( D 2 x+iDt+ u0D2x) gf - Q0xgf =0,(3) DxDyf f + gg 3 -u 3 0gf - u0f g 3 =0,(4) 符号D为Hirota意义下的双线性算符12. 第50卷 第4期2001年4月 100023290/ 2001/ 50(04)/ 0586207 物 理 学 报 ACTA PHYSICA SINICA Vol. 50 ,No. 4 ,April ,20
6、01 2001 Chin. Phys. Soc. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 为了进一步深入讨论,把种子解u0, Q0选为 如下形式: u0=0, Q0x= p0( x , t) ,(5) 式中p0p0( x , t)为变量 x , t的任意函数.经过 一些繁琐但直接的运算,发现NLS系统(3)和(4)式 拥有分离变量解 f = a1p( x , t) + a2q( y , t) + a3p( x , t) q( y , t) , g = p1q1exp (ir +is) ,(6
7、) a1, a2, a3为任意常数, p , p1, r为 x , t的函 数, q , q1, s为 y , t的函数.将方程(6)代入(3)和 (4)式,并令实部和虚部分别为零,得到 p1=2a1a2px, q1=2a1a2qy,(7) st=0,(8) -2pxpxxx+ p2xx+4p2xr2x+4rtp2x+4p2xp0x=0, (9) pt+2pxrx= c1 ( a 2+ a3 p) 2 + c2 ( a 2+ a3p) + a1a2a3 , ( 10) qt= - c3 ( a 1+ a3 q) 2 - c2 ( a 1+ a3 q) -a1a2c1,(11) (10)和(11
8、)式中的cici( t) ( i= 1,2,3)为t的任 意函数. 由于函数p0的任意性,NLS方程的局域解有 着相当丰富的结构.从(8)和(10)式,可以看出函数 r可由p表示, s为y的任意函数.而任意函数p0 通过(9)式又和p联系在一起.实际上在这个问题 中可将p看作任意函数,由(9)式来固定p0,即 p0x = ( 4p2x) -1(2 pxpxxx-p2xx-4p2xr2x-4rtp2x ) . (12) 由于c1, c2和c3为t的任意函数,可以较为方便地 给出方程(11)的普遍解.若取c1, c2和c3为 c1= 1 a1a2a23A1 ( a 1+ a3A2) 2 A3t +
9、 ( a1a3+ a23A2 ) A 1t- A1A 2 3A2t, (13) c2= - 1 a23A1 2 ( a 1+ a3A2 ) A 3t+ a3A1t, (14) c3= A3t a23A1 ,(15) 式中A1A1( t) , A2A2( t)和A3A3( t)为t的 任意函数,那么(11)式成为 qt= -1 A1 A3tq2- ( A1t+2A2A3t ) q -A1A2t+ A2A1t+ A 2 2A3t. (16) 可以直接验证(16)式的普遍解具有以下形式: q = A1 A3+ F2( y) + A2,(17) 式中F2F2( y)为y的任意函数. 最后,将拥有(7)
10、式的(6)式代入(2)式,可以得 到NLS方程场量u模的具体形式 U =|u| 2= 2a1a2pxqy ( a 1p + a2q + a3 pq) 2, (18) = QyPx ( A 1cosh( P + Q) + A2cosh ( P - Q) ) 2, (19) 式中A1和A2为任意常数.在合适地选择常数C1, C2, C3和C4后, P和Q与p和q的关系可以表示 为p=C1+C2epx( P) , q=C3+C4exp( Q) .考虑到 p( x , t) , A1( t) , A2( t)和F2( y)的任意性, P仍为 x , t的任意函数, Q=Q1( y)+Q2( t) ,
11、Q1( y)和 Q2( t)分别为y和t的函数. 3 一些特殊类型的局域解 函数p( x , t) , F2( y)和Ai( t) ( i= 1,2,3)的任 意性,使(18)式拥有相当丰富的孤子结构.事实上从 (18)式很容易看出对于任意的p和q ,只要满足边 界条件p| x-B1, p|x+B2, q|y- B3, q| y+B4, B1, B2, B3和B4可以是无限大 的任意常数,|u| 2 是一个所有方向都指数局域的相 干结构.下面是几个有趣的特殊例子. 3. 1 多个直线隐形孤子形成的无色散关系的多 dromion解 一般而言,多dromion解是由具有某种色散关 系的多直线孤子所
12、构成,并且dromion局域在直线 的交叉点上.若取p和q为下述形式: p = 6 N i =1 exp ( k ix + wit + x0i ) + 1 6 N i =1 exp(i ) + 1,(20) q = 6 N i =1 exp ( K iy + y0i)6 N i =1 exp(jt) ,(21) 式中x0i, y0i, ki, wi, Ki和i为任意常数, M , N 和J为任意正整数,这样就得到了第一种特殊类型 的多dromion解. (21)式的选择与任意函数 785 4期阮航宇等:(2 + 1)维非线性薛定谔方程的环孤子,dromion ,呼吸子和瞬子 1995-2005
13、 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. A3( t) =0, F- 1 2 = 6 M i =1 exp ( K iy + y0i ) , A1= 6 J i =1 exp(jt) , A2=0(22) 的选取相对应.式中ki, wi, Ki 和 i之间无任何色 散关系. 3. 2 曲线隐形孤子形成的多dromion解 最近,我们发现某些(2 + 1)维模型存在的 dromion解不仅可由直线隐形孤子构成,也可由曲 线隐形孤子形成.从(19)式可看到NLS方程的 dromion解,也是既可由直线孤子又可由曲线
14、孤子 形成.形成dromion的一组直线孤子由因子 Qy= 6 N i =1 Qi ( y - yi0)(23) 确定,其中Qi=Qi ( y -yi0)为在直线y=yi0上有 限,离开直线迅速衰减的直线孤子.另一组直线孤子 由因子Px确定.实际上,任意(1 + 1)维可积模型的 多dromion解均可选为Px.当然,也可选Px与(23) 式相似的形式.曲线孤子可由因子 P + Q =min( P + Q) , P -Q =min ( P - Q) (24) 确定. (24)式的分枝数确定了曲线孤子的数量. 图1为两个隐形曲线孤子在Q取y2- 4 + 2(1144) 2 , P取x3- 2 +
15、(1144) 2 时形成的dromion (A1= 1, A2= 2).相应的曲线 x3+ y2-6+3(1.44) 2 =0, x3-y2-4+2(1.44) 2 =0,(25) 如图 1(b) 所示.从图 1(b) 可清楚地看到两条曲线没 有交叉点,但有最近点.该现象揭示了形成dromion 的新机制. dromion不仅可在直线或曲线孤子的交 叉点上形成,也可在曲线隐形孤子的最近邻点上存 在. 3. 3 具有振荡形尾部的dromion解 如果某些空间变量的周期函数包含在函数p 和q内,可以获得某些方向具有振荡形尾部的 dromion解.取 p =exp( x (cosx +4/3) )
16、+1, q =exp ( y) , (26) 得到了在x方向振荡的dromion解. 图2为一幅由(26)式所确定的振荡形dromion 结构.图中a1=a2/2 =a3= 1. 图1 两个曲线隐形孤子x3+y2- 6 + 3(1144) 2 = 0 和x3-y2+ 2 -(1.44) 2 = 0形成的dromion解 相 应的曲线为P=x3- 2 +(1.44) 2, Q =y2- 4 + 2(1.44) 2= 0, A 1= 1, A2= 2 图2 由(26)式所确定的振荡形dromion解(a1=a2/2 =a3= 1) 3. 4 环孤子解 在高维情况下,除了点局域形的相干激发,可能 存在某些其他类型的有意义的局域激发.例如对于 2DsG系数,存在环形(碟形、 盆形、 碗形)孤子解.这 些孤子解在闭合曲线的内部不为零,闭合曲线的外 部指数衰减.对于NLS方程,也可以找到一些特殊 类型的环孤子解.若在(19)式中取 885
