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1、2013-12-18 1 5.1 涡旋运动的基本概念和运动性质涡旋运动的基本概念和运动性质 5.2 粘性对涡旋形成与变化的作用粘性对涡旋形成与变化的作用( (质量力有势、正压质量力有势、正压) ) 1. 涡量输运方程涡量输运方程 2. 粘性流体中环量的变化粘性流体中环量的变化 5.3 无粘性流体涡旋运动性质无粘性流体涡旋运动性质 1. 质量力有势、正压时质量力有势、正压时涡旋的运动性质（环量守恒定理）涡旋的运动性质（环量守恒定理） 2. 质量力无势、非正压质量力无势、非正压时涡旋的运动性质时涡旋的运动性质 5.4 不可压流体中涡旋所引起的速度场不可压流体中涡旋所引起的速度场 第第5 5章章流体
2、涡旋运动流体涡旋运动 涡旋运动：涡旋运动： 旋涡是俗称旋涡是俗称,它是流体团的旋转运动它是流体团的旋转运动,称涡旋称涡旋 微团绕自身轴发生旋转微团绕自身轴发生旋转有旋有旋 无旋无旋 0 0 2 u 研究意义：实际流体大多呈有旋运动，研究意义：实际流体大多呈有旋运动，与阻力、振动与阻力、振动 和噪声等有关和噪声等有关 如：如： 桥墩后的漩涡，龙卷风桥墩后的漩涡，龙卷风 2013-12-18 2 涡旋利弊：涡旋利弊： 利：涡旋消能利：涡旋消能 弊：绕流尾部漩涡产生压强阻力，降低旋转机械弊：绕流尾部漩涡产生压强阻力，降低旋转机械 （水轮机、汽轮机）效率（水轮机、汽轮机）效率 旋流消能种类旋流消能种类
3、 很多，有单旋很多，有单旋 和双旋消能方和双旋消能方 式，后者结构式，后者结构 复杂。在工程复杂。在工程 上较实用的是上较实用的是 单旋消能工，单旋消能工， 即即旋流竖井旋流竖井和和 旋流洞。旋流洞。 开敞式水轮机室的水流很乱开敞式水轮机室的水流很乱, ,易产生漩易产生漩 涡状水流涡状水流, ,把空气带入水轮机把空气带入水轮机, ,使转速减使转速减 慢慢, ,降低水轮机效率。空气被带进水轮降低水轮机效率。空气被带进水轮 机改变了轴向水压力机改变了轴向水压力, ,机轴可能发生较机轴可能发生较 大震动大震动, ,对轴承与厂房不利，而且会把对轴承与厂房不利，而且会把 水中漂浮物吸入水轮机水中漂浮物吸
4、入水轮机 2013-12-18 3 研究内容：研究内容： 研究涡旋运动的运动规律。通过对涡旋的运研究涡旋运动的运动规律。通过对涡旋的运 动学性质和动力学性质的研究，揭示涡的产生、动学性质和动力学性质的研究，揭示涡的产生、 发展和消亡的规律。发展和消亡的规律。 有旋、无旋随时间不变的守恒性有旋、无旋随时间不变的守恒性 涡量的的产生、变化和消失涡量的的产生、变化和消失 有旋、无旋两种运动的转化有旋、无旋两种运动的转化 有旋、无旋运动并存于同一流场有旋、无旋运动并存于同一流场 涡量标志着流体的转动涡量标志着流体的转动 环量可以从总体上描述转动的快慢和转动范围的大小环量可以从总体上描述转动的快慢和转动
5、范围的大小 因此涡旋运动可以转化为对因此涡旋运动可以转化为对涡量和环量涡量和环量的研究的研究 5.1 涡旋运动的基本概念和运动性质涡旋运动的基本概念和运动性质 1 1、涡旋运动的基本概念、涡旋运动的基本概念 （1 1）涡量）涡量 标志着流体的转动标志着流体的转动 . , , y u x u x u z u z u y u x y z zx y y z x k i j ijkij e x u 2u （2 2）涡线）涡线 涡线在任一点处都与过该点的涡矢量相切涡线在任一点处都与过该点的涡矢量相切。 （3 3) )涡线方程涡线方程 涡线具有瞬时性涡线具有瞬时性， 与流线相交与流线相交。 zyx dzd
6、ydx 0 dzdydx kji rd zyx （4 4）涡管、涡面、涡束和元涡管）涡管、涡面、涡束和元涡管 涡面涡面： 涡量场中取任一曲线，过曲线上每一点作涡线，涡量场中取任一曲线，过曲线上每一点作涡线， 组成一曲面。组成一曲面。 涡管涡管： 涡量场中取任一封闭曲线，过曲线上每一点作涡涡量场中取任一封闭曲线，过曲线上每一点作涡 线，组成一闭合曲面。线，组成一闭合曲面。 涡束涡束：涡管中的流体涡管中的流体 元涡管元涡管：涡量场中取任一微小封闭曲线，过曲线上每一：涡量场中取任一微小封闭曲线，过曲线上每一 点作涡线，组成一闭合曲面。点作涡线，组成一闭合曲面。 （5 5）涡通量和旋涡强度：涡通量和旋
7、涡强度： 涡通量：涡通量：涡矢量通过面源的通量涡矢量通过面源的通量, ,亦称为亦称为涡管强度涡管强度。 dsdsI ss n 2013-12-18 4 L u dl LL dlul ducos kdzjdyidxl d kujuiuu zyx L zyx L dzudyudxul du)( 曲线积分的方向规定为逆时针方向曲线积分的方向规定为逆时针方向 速度环量：速度环量： 速度在某一封闭曲线切线上的分量沿该封闭曲线的线积分速度在某一封闭曲线切线上的分量沿该封闭曲线的线积分 （6）环）环 量量 例例已知不可压缩流体平面流动速度分布已知不可压缩流体平面流动速度分布: : u ux x= = - -
8、6 6y y, , u uy y= 8= 8x x, , 求绕圆求绕圆x x2 2+ +y y2 2=1 =1 的速度环量的速度环量 （7 7）正压与斜压（非正压）流体：）正压与斜压（非正压）流体： 正压与斜压这两个概念是气象上的常见概念，有不同的正压与斜压这两个概念是气象上的常见概念，有不同的 表述方式。表述方式。 正压流体正压流体“是指压力为密度的函数或，即压力和密度一一对是指压力为密度的函数或，即压力和密度一一对 应应. .其等压线（面）和等密度线（面）重合（或平行）其等压线（面）和等密度线（面）重合（或平行）. . 斜压流体斜压流体, ,其压力和密度不一一对应其压力和密度不一一对应,
9、,其等压线（面）和等密其等压线（面）和等密 度线（面）相交。度线（面）相交。 P dp p pp )( 1 )( ),(Tpp RTp如气体状态方程如气体状态方程 2.2.涡量场的运动性质涡量场的运动性质 因为涡量场的散度为零（因为涡量场的散度为零（无源场无源场），因此），因此 具有以下性质：具有以下性质： （1 1）同一瞬时沿同一涡管的各截面上的涡通量相等，）同一瞬时沿同一涡管的各截面上的涡通量相等， 即涡管强度不变。即涡管强度不变。 0 dVds Vs n 0 0 0 0 : ）（ 令令 ）（根据矢量恒等式根据矢量恒等式 u uA A 2013-12-18 5 21 321 0 0:0 0
10、 s n s n n sss cs Vcs dsds nsdsdsd Ad VdAd 侧面侧面 即即 则则 由高斯定理知由高斯定理知 0 )( dsds ss nn 12 涡丝：（简化模型涡丝：（简化模型) ) 涡丝与流动平面的交点为涡丝与流动平面的交点为点涡点涡 0dsconstI 但但 （2）推论：涡丝或涡管不能起始于推论：涡丝或涡管不能起始于流体流体中，也不中，也不 能终止，只能自成一环或终止于壁面或水面。能终止，只能自成一环或终止于壁面或水面。 （3）环量与涡通量的关系）环量与涡通量的关系 根据根据Stokes 定理定理，穿过一开曲面的涡通量等穿过一开曲面的涡通量等 于绕开曲面周界的速
11、度环量于绕开曲面周界的速度环量 IAdl du A l 因为速度比涡量容易直接测量，因为速度比涡量容易直接测量， 因此用环量比用涡通量更为方便因此用环量比用涡通量更为方便 s 证明如下：证明如下： Stokes 定理：定理： dydz z Q y R dxdz x R z P dxdy y P x Q RdzQdyPdx Ls )()()( Ad dAdAdA dydz z u y u dxdz x u z u dxdy y u x u dzudyudxu xxyyz s z y zzx Ls z y zyx s )()()( 根据环量与涡通量的关系可知：根据环量与涡通量的关系可知： 涡丝的强
12、度为常量，因此涡丝的环量亦为常量，称为涡丝的强度为常量，因此涡丝的环量亦为常量，称为 涡丝的强度涡丝的强度 例例 =0 2 2 2 2 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 dy y v vdy dx x u dxdy y u udx dy y v dxdy x v vdy dx x u udx 2013-12-18 6 Stokes定理：穿过一开曲面的涡通量等于定理：穿过一开曲面的涡通量等于 绕开曲面周界的速度环量绕开曲面周界的速度环量 dA n Stokes定理适用于单连通域：定理适用于单连通域： 单连通域单连通域：区域中任一条封闭曲线都能连续地收：区域中任一条封闭曲线都
13、能连续地收 缩成一点而不越出流体边界。缩成一点而不越出流体边界。 dAd n 的环量的环量由上例可知每个小微元由上例可知每个小微元 外边外边 外边外边内边内边 d dd dddd n i i 21 dA n 复连通域复连通域：可将其改成单连通域：可将其改成单连通域 0 A l Adl du - 21 21 0 0 kk kk 即即 无旋，则无旋，则 小结小结 由由Stokes Stokes 定理可知环量与涡通量之间的关系：定理可知环量与涡通量之间的关系： 2013-12-18 7 5.2 粘性对涡旋形成与变化的作用粘性对涡旋形成与变化的作用 ( (质量力有势、正压质量力有势、正压) ) 1. 涡量输运方程（粘性流体中涡量）涡量输运方程（粘性流体中涡量） 2. 粘性流体中环量的变化粘性流体中环量的变化 (1)(1) 涡量输运方程涡量输运方程( (质量力有势、正压质量力有势、正压) ) 兰姆方程两端取旋度兰姆方程两端取旋度 兰姆方程兰姆方程uu up t u 2 2 ) 2 ( uu up t u 2 2 )() 2 ( t u tt u )(. 1 0)( ) 2 () 2 (. 2 22 A A upup 令：令： baababbaba )()()()()( 由矢量恒等式由矢量恒等式 )(. 3 u )()( )()()()() uu uuuuu（
