《概率概率论与数理统计4-3协方差及相关系数.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率概率论与数理统计4-3协方差及相关系数.（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 协方差及相关系数,协方差 相关系数 课堂练习 小结 布置作业,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,
2、1.定义,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,特别地,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对
3、协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .,在不致引起混淆时，记 为 .,相关系数的性质：,证: 由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数 b, 有,0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ),D(Y- bX)=,2. X和Y独立时， =0，但其逆不真.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,请看下例.,事实上，X的密度函数,例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X,不难求得,存在常数 a,b(b0），,使 PY= a + b X=1，,即 X 和 Y 以概率 1 线
4、性相关.,因而 =0，,即X和Y不相关 .,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立 .,考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，,以均方误差,e =EY-(a+bX)2,来衡量以 a +b X 近似表示Y 的好坏程度 :,e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好.,用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,=E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y),e =EY-(a+bX)2 ,解得,这样求出的 最佳逼近为 L(X)=a0+b0X,这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X,这一逼近的剩余是,若 =0， Y 与 X 无线性关系;,若0| |1,| | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高;,| | 的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.,E(Y-L(X)2= D(Y)(1- ),但对下述情形，独立与不相关等价,前面，我们已经看到：,若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,三、课堂练习,1、,2、,1、解,2、解,四、小结,这一节我们介绍了协方差、相关系数、,相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征.,注意独立与不相关并不是等价的.,当(X,Y) 服从二维正态分布时，有,
