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1、大连理工大学 博士学位论文 函数空间上的Toeplitz算子及Hankel算子 姓名：刘朝美 申请学位级别：博士 专业：基础数学 指导教师：卢玉峰 20090523 大连理工大学博士学位论文 摘要 T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子是函数空间上两类重要的的算子由于与算子理论、函 数论、B A n a c h 代数等数学分支的紧密联系和在物理、概率论、信息控制论等学科中的广 泛应用，这两类算子成为算子理论的热门研究方向，吸引了众多学者的关注上世纪5 0 年 代以来，数学家们对T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子进行了深入的研究，取得了
2、大量重要的成 果但到目前为止，对于T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子还有许多重要的问题没有得到解决， 特别是多变量的T o e p l i t z 算子和H a n k e l 算子本文主要研究单位圆周上k 阶斜T o e p l i t z 算子的交换性和本性交换性、单位圆盘的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子的交换性和 亚正规性，以及单位球的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子乘积的有界性和H a n k e l 算子 乘积的有界性及紧性 第二章研究了L 2 ( T ) 上的k 阶
3、斜T o e p l i t z 算子的性质，得到了两个k 阶斜T o e p l i t z 算 子可交换的充要条件及其乘积和换位子是紧算子的充要条件，特别地，给出了两个k 阶斜 T o e p l i t z 算子的交换性与本性交换性是一致的在此基础上，通过对单位圆周T 上本性有 界函数性质的研究，给出了以特殊函数为符号的两个k 阶斜T o e p l i t z 算子本性可交换的充 要条件 第三章利用M e l i n 变换研究了单位圆盘的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子的性质 首先得到了以有界函数为符号的T 0 e p l i t z 算子和以
4、单项式函数为符号的T o e p l i t z 算子可交 换的充要条件，同时给出了f 0 ，1 ) 区间上的有界函数的M e l l i n 变换为有理函数的充要条件 其次，借助于有界函数的M e U i n 变换的性质，得到了以特殊函数为符号的T o e p l i t z 算子为 亚正规算子的一些充要条件和充分条件 第四章研究了单位球的加权B e r g m a n 空间上T o e p l i t z 算子乘积和H a n k e l 算子乘积 的性质设一1 o 日a + b g ，a f + 的I 垦日o 。+ c 当且仅当对每个支集s ， 下面的条件之一成立：( 1 ) I 。和g
5、 l 。属于H 0 0 l 。；( 2 ) 厂l 。和- l 。属于日o o l 。；( 3 ) 存在不全 2 大连理工大学博士学位论文 为零的常数n ，b 使得n ，+ 的I 是常数，这里日f ，1 是由己中的函数厂生成的D o u g l a s 5 oo 代数 在单位圆盘的B e r g m a n 空间上，对T o e p l i t z 算子交换性研究第一个完整的结果是由 A x l e r 和Z e l j k oC u 芒k o v i d 得到的他们在f 1 5 】中证明了以有界调和函数为符号的T o e p l i t z 算子乃和E 可交换的充要条件是B r o w n 和
6、H a l m o s 在H a r d y 空间中给出的S t r o e t h o f f 在1 6 1 中研究了以调和函数为符号的T o e p l i t z 算子的本性交换性，得到了两个以调和函数 为符号的T o e p l i t z 算子本性可交换的充要条件A x l e r 、Z e l j k oC u 琶k o v i 6 和R a o 在17 中 证明了：若两个T o e p l i t z 算子可交换，并且其中一个T o e p l i t z 算子的符号是非常数的解析 函数，则另一个T o e p l i t z 算子的符号也是解析的此外，Z 。e l j k oC
7、 u 琶k o v i 6 和R a o 研究了与 以单项式函数为符号的T o e p l i t z 算子可交换的T o e p l i t z 算子的性质，得到了充要条件f 1 8 近来，L o u h i c h i 和Z a k a r i a s y 在f 1 9 1 中研究了以拟齐次函数为符号的T o e p l i t z 算子的性质， 得到了以8 次拟齐次函数为符号的T o e p l i t z 算子和以k 次拟齐次函数为符号的T o e p l i t z 算 子可交换的充要条件，这里s 和七都是整数，此外，他们还得到了带有一般符号的T o e p l i t z 算子和带
8、有k 次拟齐次符号的T o e p l i t z 算子可交换的必要条件 在多复变量的B e r g m a n 空间上，情况更为复杂运用朋调和函数理论，Z h e n g 在f 2 0 中研究了单位球风的B e r g m a n 空间上或单位球面& 的H a r d y 空间上以多重调和函数为 符号的可交换T o e p l i t z 算子的性质，证明了以多重调和函数妒为符号的T o e p l i t z 算子乃 和以多重调和函数矽为符号的T o e p l i t z 算子可交换当且仅当下面条件之一满足：( 1 ) 妒 和矽在玩上解析，( 2 ) 和妒在鼠上解析，( 3 ) 妒或妒在
9、鼠上是常数，( 4 ) 存在非零常数 6 使得妒一渺在鼠上是常数；L e e 在f 2 1 1 中研究了加权的情况近来，Q u i r o g a - B a r r a n c o 和V a s i l e v s k i 在2 2 和f 2 3 1 中研究了T o e p l i t z 算子的交换矿代数在f 2 4 1 中S u n 和Z h e n g 证明了多元盘的B e r g m a n 空间上解析T o e p l i t z 算子的共轭算子口和解析T o e p l i t z 算子 已本性可交换当且仅当它们可交换L u 在f 2 5 1 中刻画了双圆盘的B e r g m
10、a n 空间上带有 日o 。( D 2 ) + 日o 。( D 2 ) 符号的可交换T o e p l i t z 算子C h o e 、K o o 和L e e 在f 2 6 中研究了多元 盘的B e r g m a n 空间上以多重调和函数为符号的( 本性) 可交换T o e p l i t z 算子的性质 ， 1 1 。2 T o e p l i t z 算子的亚正规性 到目前为止，对H a r d y 空间上T o e p l i t z 算子的亚正规性的研究已经取得了很多成果， 具体可见f 2 7 - 4 3 特别地，F a n 在f 2 8 1 中研究了以多项式函数为符号的T o
11、e p l i t z 算子的 亚正规性，得到了以函数妒( 名) = ：一一，a k 为符号的T o e p l i t z 算子是亚正规的当且仅当 I a 2 1 2 一I a _ 2 1 2 l a 2 h - - j - i h - - 写_ 2 a 1 1 在 3 0 】中C o w e n 研究了以函数妒= ，+ 耍p ( T ) 为符 号的T o e p l i t z 算子已的亚正规性，这里，g 日2 ( ) ，得到了已是亚正规的当且仅当集合 恐日( ) ：l I k l l o 。1 ，妒一婶日o 。( ，) 不是空集，等价地，存在满足l I h l l 墨1 的函 数h 日o
12、 。( - ) 及常数C 使得g = c + 死厂N a k a z i 和T a k a h a s h i 在3 1 1 中推广了C o w e n 的 这个结果G u 在3 2 1 中将C o w e n 的结果推广到向量值T o e p l i t z 算子之后Z h u 在3 3 1 中 3 函数空间上的T o e p l i t z 算子及H a n k e l 算子 详细阐述了C o w e n 的结果，并且证明了以( 三角) 多项式函数为符号的T o e p l i t z 算子的亚正 规性的问题可以简化为函数论中经典的S c h u r 算法之后L e e 和其他学者对以多项
13、式函数 等有界函数为符号的T o e p l i t z 算子的亚正规性进行了研究，相继取得了大量的成果 在单位圆盘的B e r g m a u 空间A 2 上，S 钺i r a o u 在中研究以函数，+ 虿为符号的 T o e p l i t z 算子乃粕的亚正规性，这里，和夕都是有界解析函数，得到了T o e p l i t z 算子 乃+ 誊是亚正规的当且仅当下列条件之一成立：( 1 ) 皤岛衅月；( 2 ) 对任意k A 2 ， | | ( ，一P ) ( 歹七) I I I I ( I P ) ( 一f k ) t l ；( 3 ) 对任意k A 2 ，I I 虿七1 1 2 一I
14、 I P ( 虿k ) 1 1 2 1 1 7 k l l 2 一I I P ( - f k ) 1 1 2 ； ( 4 ) 皤= C 三一，这里C 的范数小于等于1 P a t r i c kA h e r n 和Z 。e 1 k oe u 邑k o v i 6 在f 4 5 中运 用均值不等式和B e r e z i n 变换将S a d r a o u 的结果一般化在【4 6 中H w a n g 讨论了以，+ 虿 为符号的T o e p l i t z 算子乃撕的亚正规性，其中厂与夕均是多项式，得到了一个充要条件及 一些必要条件H w a n g 和L e e 在f 4 7 1 中研究
15、了以特殊函数为符号的T o e p l i t z 算子的亚正规 性，得到了必要条件最近，H w a n g 在 4 8 中讨论了以特殊函数为符号的T o e p l i t z 算子的 亚正规性，并得到了一些结果 尽管在T o e p l i t z 算子亚正规性方面成果众多，但T o e p l i t z 算子亚正规性问题的解决还 很遥远 1 1 3 T o e p l i t z 算子乘积 关于T o e p l i t z 算子乘积的问题是：什么时候T o e p l i t z 算子的乘积仍是一个T o e p l i t z 算 子，什么时候T o e p l i t z 算子的
16、乘积是零算子及T o e p l i t z 算子的乘积有哪些代数性质这些 问题与算子所带符号之间存在着密切联系 在H a r d y 空间铲( T ) 上，S a r a s o n 首先在 4 9 中提出了稠定义的T o e p l i t z 算子乘积 乃码什么时候有界的问题，他猜想T r e i l 得到的必要条件也是T o e p l i t z 算子乘积有界的一 个充分条件，这个问题与L 2 ( T ) 上的双权H i I b e r t 变换的有界性有着紧密联系f 5 0 1 在f 5 1 1 中C r u z - U r i b e 研究了以外函数为符号的T o e p l i t z 算子乘积的有界性和可逆性Z h e n g 在 5 2 1 中证明了只要比S a r a s o n 猜想的条件稍强一点就是
