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1、Department of Mathematics, College of Sciences 编码理论基础编码理论基础 哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系信息与计算科学系 林锰林锰 授课预计授课预计 (6学时学时) 第一章第一章 简介抽象代数基本知识简介抽象代数基本知识 1群的相关概念群的相关概念 2 环的相关概念环的相关概念 3域及域上多项式域及域上多项式 Department of Mathematics 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) G中有一个元素中有一个元素0，适合，适合a+0=a， 4) 对于对于G中任意中任意a,有有-
2、a,适合适合a+（-a）=0， 5) a（bc）=（ab）c， 6) a（b+c）=ab+ac，（，（a+b) c=ac+bc。 一一, 环的定义及相关内容环的定义及相关内容 1，定义：，定义：设设R是一个非空集合，其中有是一个非空集合，其中有“+” “” 两种两种二元代数二元代数运算，运算，R叫做一个叫做一个环环，如果，如果 2.2 环 的 相 关 概 念环 的 相 关 概 念 Department of Mathematics (1) R;+为为Abel群群 (2) R;*为半群为半群 (3) +，*满足分配律满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a
3、)+(c*a) 注意：环与群一样都可以只有一个元素构成。注意：环与群一样都可以只有一个元素构成。 2，环的又一定义，环的又一定义 代数系统代数系统R;+,*,其中其中+和和*为定义在为定义在R上的二元上的二元 运算运算,满足下述条件满足下述条件, 则称则称R;+,*为为环环。 Department of Mathematics 3,关于定义的说明关于定义的说明 (1) 为了叙述和理解上的方便，通常将环中为了叙述和理解上的方便，通常将环中“+” 的单位元记为的单位元记为0，而将环中元素而将环中元素a关于加法的关于加法的 逆元称作逆元称作a的负元，记作的负元，记作-a。如果环中关于。如果环中关于“
4、*” 有单位元，就把这个单位元记作有单位元，就把这个单位元记作1，而将关于，而将关于 乘法的逆元（若存在的话）称为乘法的逆元（若存在的话）称为a的逆元，记的逆元，记 作作a-1。 (2) 如果环如果环 的的乘法还满足交换律乘法还满足交换律, 则称则称 为为交换环交换环RR Department of Mathematics (3) 类似地，我们可以用类似地，我们可以用a-b表示表示a+(-b)， na表示表示a的加法的加法n次幂，即次幂，即 na= 44 344 21 个个n aaa+ + + +. 321 个个n aaa. 规定规定:今后加法运算就是满足交换律的今后加法运算就是满足交换律的
5、二元代数运算二元代数运算 规定规定:今后加法运算就是满足交换律的今后加法运算就是满足交换律的 二元代数运算二元代数运算 而用而用an表示表示a的乘法的乘法n次幂，即次幂，即 an= Department of Mathematics ?所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环， 叫做叫做整数环整数环。 ?所有所有n阶阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个 环，叫做环，叫做矩阵环矩阵环。 ?实数域上的所实数域上的所有有多多项项式式在在多多项项式式加加法法与与乘乘法法下下作作 成一个环，叫做成一个环，叫做多项式环多项式环。 ?整数模
6、整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法 下作成一个环叫下作成一个环叫模模n的的剩余类环。剩余类环。 4, 环的例环的例 Department of Mathematics 性质性质1 用数学归纳法，分配律可以推广如下：用数学归纳法，分配律可以推广如下： a（b1+bn）= ab1+abn， （a1+am）b = a1b+amb， 二二，环 的 性 质环 的 性 质 j ji ij n j m i i baba = = = = =,11 性质性质3 a0=0，0a=0。 性质性质4 a（-b）= -（ab），）， 性质性质2a(c-b)=ac-ab， (c-
7、b)a=ca-ba。 Department of Mathematics 性质性质5 对任意整数对任意整数m，都有，都有 a(mb) = (ma)b = m(ab)。 性质性质6am+n=aman，（，（am）n=amn。 交换环交换环:乘法适合交换律的环。乘法适合交换律的环。 性质性质7 在交换环中，有第三指数律：在交换环中，有第三指数律： （ab）n=anbn。 带幺环带幺环:如果如果R不只有一个元素而且有一个元素不只有一个元素而且有一个元素1 适合对任意适合对任意a G，1a = a1 = a 则称则称R为为带幺环。带幺环。 Department of Mathematics 从定义可以
8、看出，带幺环从定义可以看出，带幺环(又叫含壹环又叫含壹环)至少有至少有 两个元构成两个元构成,如模的整数环。如模的整数环。 例例. 整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘 法下作成的环不是含壹环。法下作成的环不是含壹环。 性质性质9含幺环含幺环G的的幺幺是是唯一唯一确定的。确定的。 性质性质10 设环设环G有有1，则，则 10。 Department of Mathematics 2,定理定理: 环环R的子集的子集S作成子环充分必要条件为作成子环充分必要条件为: （1） S非空；非空； （2） 若） 若aS，bS，则，则a-bS; （3）若）若aS，bS，
9、则则abS。 三三，子环子环 1,定义定义 若若R是环是环,S是是R的非空子集的非空子集,若若S在在R的的 加法和乘法下仍是环加法和乘法下仍是环,则称则称S是是R的的子环。子环。 结论：结论：R本身以及本身以及0是是R的两个平凡子环。的两个平凡子环。 Department of Mathematics 例例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环，整数环是消去环，矩阵环不是消去环， 有零因子。比如，有零因子。比如， 四四，整环和除环整环和除环 = = 00 00 00 01 00 10 若若G是环，是环，a，b R，如果，如果a0，b0，但但 ab=0，则称，则称a，b为零因子。如果为零因子。如果
10、G没有这样的元没有这样的元 素，则说素，则说G无零因子无零因子。（无零因子的环称为消去环）（无零因子的环称为消去环） 定义定义1: 带带幺幺无无零因子零因子的的交换交换环称为环称为整环整环 定义定义2：若若A是至少含有是至少含有0,1的环的环,且且A -0构成乘法构成乘法 群，则称群，则称A 为为除环除环 Department of Mathematics 五，理想和商环五，理想和商环 若对任意的若对任意的R中元素中元素a，有，有I a =x*a|x I I, 则称则称I是是R的一个的一个右理想右理想。 定义定义1:设（设（ I ；+，*）是（）是（R；+，*）的子环，）的子环， 1,定义定义
11、 若对任意的若对任意的R中元素中元素a，有，有a I =a*x|x I I, 则称则称I是是R的一个的一个左理想。左理想。 若若I既是既是R的左理想又是右理想，则称的左理想又是右理想，则称I是是R的的理想理想。 Department of Mathematics 显然，任一非零环显然，任一非零环R至少有两个至少有两个平凡理想平凡理想： R本身和仅由本身和仅由R的零元的零元 0 形成的子集形成的子集0。 除了这两个理想外，如果除了这两个理想外，如果R还有其他理想还有其他理想I， 则称则称I为为R的的真理想真理想。 3,主理想：主理想： 设（设（R；+，） 是是一个环，一个环，,包含包含a的的R的
12、最的最 小理想称为小理想称为由由a生成的主理想记为生成的主理想记为 Ra Department of Mathematics 所谓包含所谓包含a的最小理想指的是，对的最小理想指的是，对R的任意的任意 一个理想一个理想I，如果，如果，则一定有，则一定有Ia Ia 设（设（R；+，）是一个环，）是一个环，I是是R的一个理想，的一个理想， （1）如果由）如果由，可以推出，可以推出或或 ，则称，则称I是是R的一个的一个素理想。素理想。 （2）如果不存在）如果不存在R的真理想的真理想I，使得，使得: ,则称则称I是是R的的最大理想。最大理想。 Iba Ib Ia RII 素理想与极大理想：素理想与极大理
13、想： Department of Mathematics 商环的定义商环的定义 设设I, +, 是环是环R=R, +, 的理想的理想, 由由I产生产生 的陪集关系记为的陪集关系记为, 定义运算定义运算 IbaIbIa IbaIbIa + + = =+ + + + + + += =+ + + + )()( )()()( = =F (1) F中所有非零元素对加法的阶都相同中所有非零元素对加法的阶都相同. (2) 若若 F的阶是有限的的阶是有限的,则必为素数则必为素数. Department of Mathematics 重要的结论重要的结论 1，p是素数时，任意非零元素在是素数时，任意非零元素在F
14、的加法群中的的加法群中的 周期等于周期等于p； 2，设，设F的特征是素数的特征是素数p，则（，则（a+b）p= ap+bp 3，设，设F的特征是素数的特征是素数p,则则(a-b)p= ap-bp 4，设，设F的特征是素数的特征是素数p，则，则 5，设，设F的特征是素数的特征是素数p，则，则 6，设，设F的特征是素数的特征是素数p，n不是不是p的倍数，则的倍数，则 -Fermat小定理小定理 nnn ppp baba = = )( p n pp n aaaa+ + += =+ + +LL 1 )( 1 1 1 = = p n Department of Mathematics 四，域的同构四，域
15、的同构 设（设（F，+，）与（）与（F，+，）是两个域，如，）是两个域，如 果存在一个从果存在一个从F 到到F的一一对应的一一对应使得对任意的使得对任意的 都有：都有： f Fba ,)()()(bfafbaf = =+ + )()(afbaf= = )(bf 则称（则称（F，+，）与（）与（F，+，），）同构，同构， 记为：（记为：（F，+，）（）（F，+，），） 三，素域三，素域 设设F是一个域，其特征为是一个域，其特征为P0，e为其单位元，则为其单位元，则 称：称：=0，e，2e，(p-1)e为为F的的素域素域 Department of Mathematics a0xn + a1xn-1+ + an-1x + an 其中其中 n，n-1，是非负整数，是非负整数， 系数系数a0，a1，anF。x的多项式可用的多项式可用(x) , g(x)等代表。等代表。 ?若若n=0，则此
