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1、数学物理方程与特殊函数 (数学物理方法) 顾 樵 (Qiao Gu) International Institute of Biophysics, Germany gu-qiaogmx.de,什么是“数学物理方法”？,一个例子: 人口增长规律,英国人口统计学家 Malthus（1766-1834） 在担任牧师期间，利用教 堂所拥有的资料，研究了 100 多年人口出生和死亡 的统计数据。他发现了一 个规律：人口的相对净增 长率是一个常数。于是他 在人口原理一书中提 出了一个人口增长模型， 即后来闻名于世的“马尔 萨斯人口模型”。,（指数增长）,由此可以预测未来人口,(常数),t: 时间 u:人口
2、,世界人口分析:,1961年的世界人口(统计数据):,1961年前的增长率(统计数据):,由此可以预测1961年以后每年的世界人口。比如，1970年的世界人口(t = 9)：,世界人口分析:,研究者:用马尔萨斯模型对于1700-1994年(约300年)的世界人口进行了计算,发现与实际统计值非常精确地相符合,由此还可以推算1961年之前的世界人口， 比如推算1700年的人口(设为W ):,以1700年为初始年份 ,以后的人口增长：,马尔萨斯的著名预言,“战争和瘟疫是不可避免的！”,Food,Population,人口是指数增长的，而粮食是线性增长的：若干年之后，有限的地球资源如何装得下无限扩展的
3、人类！马尔萨斯预言：,Time,按照马尔萨斯模型:,如果将全世界所有陆地和所有海洋面积计算在内: 0.86m2/人,显然这样一种状况是不可能出现的。马尔萨斯模型对于人口增长的长期预测是不正确的。,马尔萨斯模型：问题出在哪？,人口总数不太大时，其增长可以用线性动力学（指数增长规律）描述。但是人口总数相当大时，地球上生存环境及生态资源对人口增长的限制变得越来越显著。马尔萨斯模型的问题在于没有考虑环境对人口增长的制约（即没有引入人类与环境的关联机制：非线性相互作用项 ）。,通过这个很简单很典型的例子， 可以总结出： 什么是数学物理方法,什么是数学物理方法？,对实际问题（物理及一般问题），分析考察量的
4、变化规律，建立相应的微分方程 写出考察量所满足的相 关条件 根据微分方程和相关条件，求出考察量的解 讨论解的适用条件,精确描述线性增长阶段,例子:人口增长问题,(Malthus模型),数学物理方法的重要性,特别是，数学物理方法的知识在量子力学中十分重要，而量子力学则是当代物理学及所有相关高新技术的理论基础,数学物理方法是电子学院许多后续课程的基础(比如,电磁波和电磁场，激光原理，微电子学，光电子学，非线性光学、信息光学、高等光学等),数学物理方法：广泛应用,基本的：物理系统与物理问题 一般的：光子学，电子学，化学，生物学，生态学，医学，药物学，和其他自然科学，工程技术,以及经济学，管理学，社会
5、学等,数学物理方法：考察量,基本的：各种物理量（如位移，温度，电位，电磁场强度等） 一般的：光子计数，电子云分布，化学反应速率，细胞浓度，细菌计数，生态个体数目，生产成本，利润，工业产值，股票市值等,数学物理方法:核心,用数学物理方法处理实际问题: 第一步 它是最重要的一步 也是最困难的一步： 数学物理方程的建立,建立数理方程的方法,统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。 微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它
6、就是系统的微分方程。,微元法：弦振动方程,平衡位置:弦被绷紧，内部有张力(设为 T )， 长度为 L ，水平安置(位于 x 轴),x,0,0,x,初始状态:（例如）弦被拉成下列形状：,L,L,弦振动方程,任意 t 时刻弦的形状 :,0,x,u,现在的问题：任意时刻 t 弦上任意点 x 离开其平衡位置的位移 u (x, t) ？,x,u,L,弦振动方程,考察任意 t 时刻在 x 位置的一小段弦 ,其 受力为张力 (弦的切线方向)：,0,x,x,u,水平方向：,竖直方向：,(牛顿第二定律),弦 的质量:,密度,(忽略重力),弦振动方程,对于微振动:,0,x,x,u,水平方向：,竖直方向：,弦振动方
7、程,其中 是 的变化量，可以用 微分近似代替，即,(弦振动方程),强迫振动方程,若弦还受到时空依赖的外力的作用(设弦单 位长度受力为 ，其方向竖直于x轴):,0,x,x,u,水平方向：没有变化,竖直方向：,强迫振动方程,强迫振动方程,注:,齐次方程:只含有对 u 的各种运算,非齐次方程：含有对 u 运算之外的项 f (x, t), 被称为驱动项, 或自由项,弦振动方程 = 波动方程,弦振动方程的解 u (x, t) 表示位于 x 处的“弦点”在任意 t 时刻离开其平衡位置的位移。其实，弦振动方程就是波动方程，因为波是振动的传播。因此解 u(x, t) 也表示空间任意点 x 的波形。,t,u,空
8、间任意点 x 的波形,波动方程的应用,自然界许多弹性振动，例如机械振动，建筑物的剪振动，潮汐波，地震声波，声波，以及电磁波等都可以用波动方程来描述。,微元法：传输线方程,什么是传输线？传输线的始端接信号源，终端接负载。其间的电压、电流信号都是时空依赖的。整个传输线可以看成由许多微元x级联而成。从中取一个微元x：它的等效电路由下列 4 种原件构成：,信号源,电阻: R电感: L电容: C电导: G,微元 的等效线路：,负载,微元足够小，每个原件的尺度均为,单位长度的值,传输线方程,在长度为 的传输线中，电压降： 在结点：流入的电流等于流出的电流：,电流-电压耦合方程：,传输线方程,(1)对x微分
9、： (2)两端乘以C： (4)两端对t 微分： (3)-(5)：,（2）,（3） （4）,（1）,（5） （6）,将(2)中 的代入(6)：,电流方程,传输线方程,电流与电压有完全相同的变化规律,在高频传输情况下，电阻（电导）所产生的效应可以忽略不计，这样高频传输线的方程约化为波动方程： 结论：同一个方程可以描述不同的物理现象,微元法: 热传导方程,热传导: 当物体内部各点的温度不一样时，热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方流动，这样温度是空间和时间的函数。热传导方程就是温度所满足的偏微分方程，它的解给出任意时刻物体内的温度分布。,热传导定律,热传导的傅里叶定律:,x,高温,低温,热流,热
10、流沿 x 方向传递,任意 x 处的温度为u,温度梯度为 ， q 表示在单位时间内流经单位面积的热量， k 是热传导系数，负号表示热流方向与温度梯度方向相反。,单位面积,q,0,0,u,均匀细杆：热传导方程,微元长度 , 横截积面 , 体密度 :,0 x x,Q1 Q2,在 时间内从 x截面流入的热量,在 时间内从截面 流出的热量,比热定义,体积元 吸收的净热量表现为温度的升高,热传导方程,能量守恒要求:,其中 , 而,热传导方程:,热传导方程,三维热传导方程: 有源热传导方程:,建立数理方程的方法,统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有
11、非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。 微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。 规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。,麦克斯韦方程,电磁波的经典理论是麦克斯韦方程，它可以用 来描述所有波段的电磁现象： 射线，x 射线, 紫外， 可见， 红外， 太赫兹波(THz)：电子学和光子学的交叉区域 微波， 毫米波, ,规律法: 电磁场方程,麦克斯韦方程:,物质方程:,(矢量运算公式),(电磁场方程
12、),矢量运算基础,微分算符： 梯度： 散度： 旋度： 拉普拉斯算符：,矢量运算公式,电位方程,电场强度与电位的关系定义为:,E,泊松方程:,拉普拉斯方程:,(非齐次:有源场),(齐次:无源场),以上建立的数学物理方程都是线性的 （函数及各阶导数都是一次的）， 现在建立一个非线性数学物理方程。,统计法：传染病问题,一个区域有 500 只老鼠，其中 5只患上了传染病。它们可以通过接触传染给别的老鼠。 问任意时刻患上传染病的老鼠有多少？,传染病: 数理方程的建立,在任意 t 时刻： 病鼠数目： 健康鼠数目： 病鼠数目的变化率正比于乘积 uv：,(比例系数 ),非线性项刻画老鼠的接触性传染,传染病:
13、方程、初始条件、结果,方程: 初始条件: 结果:,讨论:,拐点：,饱和值：,初始值：,T,N,S曲线,S曲线的广泛应用,能够相当好地描述人口增长，在人口学中被称为“Logistic”模型。,马尔萨斯模型：,Logistic 模型,引入非线性相互作用项 的一个等价表述： 生物个体数 u 的相对增长率不应该是简单的常 数 ，而一个是随 u 增大而逐步减小的函数： 用增长率函数 代替常数 ，便给出 非线性模型：,在种群发展初期，个体数量 u(t) 远小于饱和值M，这时比值 u / M 很小，相对增长率 , Logistic模型化为马尔萨斯模型。随着u(t) 的增大，相对增长率下降，种群扩展的速率逐步
14、趋缓。,饱和值 M 的计算,举例： 美国人口,美国人口饱和值：,Logistic 模型：中国人口增长分析,(计算),(预言),中国人口（1982-1990）,171亿,最快增长年：2051,(计算),(预言),S曲线的广泛应用,能够相当好地描述人口增长，在人口学中被称为“Logistic”模型。 在生物学中被称为“Population model”，能够很好地描述有机体数目的增长，例如群体动物（鱼类），原生动物（水蚤类），及微生物（细菌类）等。,生长曲线：草履虫,草履虫 (单细胞原生动物，长180-280微米 )。数学生物学家G. F. Gause在装有0.5ml营养液的小试管中放置5个草履虫
15、，培养6天。每天对草履虫计数。开始个体数增加较快，然后逐渐减慢，第4天开始趋于一个最大数值375。它就是草履虫在此环境下达到的饱和值。,测量：,模型：,生长曲线：酵母(yeast)细胞,R. Pearl: 酵母细胞在20小时内数目增长的实验结果。开始增长较快，增长率在第8天达到最大值。细胞数目在20天后达到饱和值(约670)。,0 4 8 12 16 20,Time (h),Number,750 600 450 300 150,S曲线的广泛应用,能够相当好地描述人口增长，在人口学中被称为“Logistic”模型。 在生物学中被称为“Population model”，能够很好地描述有机体数目的增长，例如群体动物（鱼类），原生动物（水蚤类），
