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1、立体几何单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若，m，则m；若m，n，则mn；若，m，则m；若m，m，则.其中为真命题的是()A BC D2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A. B.C8 D.3某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A4 B2C. D84. 如图所示，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A. B.C. D.5直三棱柱ABCA1B1C1的直观图及三
2、视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()AAB1平面BDC1BA1C平面BDC1C直三棱柱的体积V4D直三棱柱的外接球的表面积为4.6. 如图所示是一个直径等于4的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成80角的截面，则截面的面积为()A. BC2 Dsin807一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A.1 B231C. D.18二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D1209. 如图所示，已知
3、ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC10正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为()A30 B120C60 D9011已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为()A. B.C. D.12. 已知正三棱锥PABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥PABC的体积为()A.h3 B.h3C.h3 D.h3二、填空题(本大
4、题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知四个命题：若直线l平面，则直线l的垂线必平行于平面；若直线l与平面相交，则有且只有一个平面经过直线l与平面垂直；若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体其中正确的命题是_14(2013江苏) 如图所示，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.15(2012辽宁)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB
5、，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_16如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有_个三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分) 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD
6、所成角的正切值18(本小题满分12分) 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB4，PA3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC平面PCD.(1)求证：AG平面PEC；(2)求AE的长；(3)求二面角EPCA的正弦值19(本小题满分12分) 如图所示，在六面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，AD平面DEFG，EDDG，EFDG.且ABADDEDG2，ACEF1.(1)求证：BF平面ACGD；(2)求二面角DCGF的余弦值20(本小题满分12分) 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB12，D为AB
7、的中点，且CDDA1.(1)求证：BB1面ABC；(2)求多面体DBCA1B1C1的体积；(3)求二面角CDA1C1的余弦值21(本小题满分12分) 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)若二面角B1DCC1的大小为60，求AD的长22(本小题满分12分) 如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段P
8、D上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由立体几何单元测试卷答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1 答案C解析为空间面面平行的性质，是真命题；m，n可能异面，故该命题为假命题；直线m与平面也可以平行也可以相交不垂直故该命题是一个假命题；为真命题故选C.2答案B解析S圆r21r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，球的半径为R.VR3，故选B.3答案D解析由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD3，BF1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为
9、2248.4. 答案C解析连接AC、BD交于点O，连接OE，易得OEPA.所求角为BEO.由所给条件易得OB，OEPA，BE.cosOEB，OEB60，选C.5答案D解析由三视图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，ODAB1，AB1平面BDC1.故A正确直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1BD.又ABBC2，D为AC的中点，BDAC，BD平面AA1C1C.BDA1C.又A1B1B1C1，A1B1B1B，A
10、1B1平面B1C1CB，A1B1BC 1.BC1B1C，且A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C.BC1A1C，A1C平面BDC1.故B正确VSABCC1C2224，C正确此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12，D错误故选D.6. 答案C解析过半球底面的中心作一个与底面成80的截面，截面是球的半个大圆，半径为2，所以截面面积S222，故选C.7答案A解析还原为直观图如图所示，圆锥的高为2，底面半径为，圆锥的母线长为，故该几何体的表面积为S22()2211.8答案C解析由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.cos，120，二面角的大小为60，故选C.
11、9. 答案C解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.10答案D解析方法一：连D1E，D1F，解三角形D1EF即可方法二：如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件，得G(0,0，)，B(1,1,0)，E(1,1，)，F(，1,0)，(1,1，)，(，0，)cos，0，则. 故选D.11答案B解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设，可得P(，)，再由cosAPC可求得当时，APC最大，故VPABC11.12. 答案C解析设底面边长为a，连接CO并延长交AB于点F，过点D作
12、DEPO交CF于点E，连接BE，则BDE为PO与BD所成的角，cosBDE.PO平面ABC，DE平面ABC，即BED是直角三角形，点D为侧棱PC的中点，DE，BEh.易知EFa，则在RtBEF中，BE2EF2FB2，即h2，a2h2，VPABCaaha2hh3，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13 答案解析正确，如右图，A1C与B1D互相平分，则四边形A1B1CD是平行四边形，同理四边形ABC1D1是平行四边形，则A1B1綊AB綊CD，因此四边形ABCD是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体14答案124解析由题意可知点F到面ABC的距离与
13、点A1到面ABC的距离之比为12，SADESABC14.因此V1V2124.15答案解析正三棱锥PABC可看作由正方体PADCBEFG截得，如图所示，PF为三棱锥PABC的外接球的直径，且PF平面ABC.设正方体棱长为a，则3a212，a2，ABACBC2.SABC222.由VPABCVBPAC，得hSABC222，所以h，因此球心到平面ABC的距离为.16 答案2解析将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD ，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错三、解答题(本大题共6小题，共70
