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1、高等数学教案第 1 次课学科高等数学（一）课题函 数周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、 函数的概念2、 函数的特性3、 复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用
2、实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程1 函数一、 集合与区间1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N表示所有自然数构
3、成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若xA, 则必有xB, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合
4、的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AB, 即 AB=x|xA或xB. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A
5、、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与
6、集合B的直积, 记为AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. 类似地有 a, b = x | a xb 称为闭区间, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-,
7、 +)=x | | x | +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中点a称为邻域的中心, d 称为邻域的半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |1时, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4. 三、 函数的几种特性(1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)
8、在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x) K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有| f(x) |M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M
