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1、教学要求： (1)能根据已知质点的谐振动方程建立平面简谐波的波动方程，并掌握其物理意义及波形图形。掌握平面简谐波特征量的物理意义及其相互关系以及各由什么因素决定。 (2)理解谐波的动能、势能，理解波动能量的传播特征，理解能量密度概念，理解平均能量密度、能流与能流密度的概念，会计算波动的能量。,重点 简谐波波动方程与能量 惠更斯原理 波的叠加原理 难点 简谐波波动方程的建立和计算,1.2 平面简谐波,一、一维平面简谐波的波动方程,二 波函数的物理意义,由图波形沿 x 正方向传播，波速为故称为行波。,（4）当波动向 -x 轴方向传播时，波动方程为,（5）一般情况下,三 质点的振动速度和加速度、平面
2、波微分波动方程,由,得,因为,所以（1）（2）得,平面波波动方程,（1）任一平面波为许多不同频率同一波速传播的平面简谐波的合成。 （2）行波表达式为该微分方程的特解。,(3) 式中的为波速，是波源振动形式的传播速度，即相速，由介质的性质所决定。,（二）理论证明：横波和纵波在固体中的传播速度分别为,纵波在液体和气体中的传播速度为,可见：波的传播速度仅仅只与介质的性质有关。,例一 一平面余弦横波在弦上传播，其波动表达式为 式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。 （1）求其振幅、波长、频率、周期和波速。 （2）画出 t = 0.0025 s 和 0.005 s 各时刻弦上的波形图。,解：（1）由
3、波动方程,所以得此波沿 x 正方向传播，且有,（2）波形图：先求 t = 0 时刻的波动方程并画出波形图：,t = 00.0025(s)，波向 x 轴正方向前进的距离为,例二 如图所示为一平面简谐横波在开始时刻（ t = 0 ）的波形。有关物理量的数据一并图示，已知周期 T = 4（s），建立该波的波动表达式，并求图中 P 点经 2（s）后的振速；若图示波形是 波形图且波改为向 x 负轴传播，则再建立波动表达式。,解：（1）由图得,波动方程为,波形前移x，由参考圆法得,所以波动表达式为,质点振速为,（2）波形后移 ，即为 t = 0 时刻的波形图,由参考圆法得,所以波动表达式为,例三 一平面简
4、谐波以速度 沿直线传播，已知在传播路径上某点 A 的振动方程为 （1）以点 A 为坐标原点，写出波动方程； （2）以距点 A 5m 处的点 B 为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上点 C、点 D 的振动方程； （4）分别求出 BC、CD 两质点间的相位差。,解：由已知条件，A 点的振动方程为,（1）以 A 为原点的波动方程为,（2） B 点的振动方程为,B 点的波动方程为,（3） C点和 D点的振动方程分别为,（4）由图得,所以得,2.5 简谐波的能量,媒质中各质点在各自平衡位置附近振动 动能,媒质间相互作用产生的弹性形变 势能,一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量,（一）能量,
5、设平面简谐波在密度为的弹性媒质中沿 x 正方向传播：=0,在 x 处取体积元 V，质量为,或在绳子上X处长度X,质量为m= X,当波传到此 V 时，有,所以体积元动能为,线元的势能,张力,体积元的总能为,平面波不是在绳子中传播，而是在均匀介质中传播时：,（二）特点:能量变化同相,形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）,形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）,（三）振动与波动中能量变化的区别,振动：能量守恒 波动：能量传播过程时大时小， 不守恒,二、波的能量密度 能流密度,（一）能量密度,单位体积内波的能量 能量密度 w ：,能量密度的平均值：,（二）能流密度,在单位时间内垂直于波线方向的单
6、位面积上通过的平均波的能量 能流密度,（1）大小：,（2）方向：,（3）单位：,（4）波的强度：,在给定均匀媒质（、u 一定）中，从给定波源（一定）发出的波：,（三）波的吸收（波的衰减）,x 处的波动，经 dx 一层媒质后，振幅的衰减为 - dA ：,吸收系数（由媒质自身性质决定）,两边积分得,因为,所以平面简谐波强度的衰减规律为,（四）球面波（点波源激发）,单位时间内穿过这两个球形面的总平均能量分别为,因为无吸收，由能量守恒定律得,所以,即,则,即,C 取 r =1 个单位距离处的波幅，则,2.6 惠更斯原理,惠更斯原理（作图法，子波概念）,（一）举例,（二）惠更斯原理,媒质中波动传播到达的
7、各点，都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波面的包迹（指和所有子波的波前相切的曲面或曲线）决定了原波动的波前。,（三）惠更斯原理的适用条件,（1）适用于任何媒质（均匀的或不均匀的、各向同性的或各向异性的） （2）任何形式的波动,（四）惠更斯原理的应用（作图法）,（1）平面波,（2）球面波,波的衍射和折射定律,（一）波的衍射（波动特征之一）,（1）衍射（绕射）现象 波在传播过程中，若遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前进。 （2）衍射条件 缝宽 a 与波长大小可比较。,（二）波的折射（波动特征之二）,（1）折射现象 当波从一种均匀媒质进入到另一种均匀媒质时，由于在两种媒质中波速不
8、同，波在两种媒质的分界面上发生折射。 （2）折射定律,各子波半径分别为,由图知,所以,即,折射定律： （1）入射角的正弦与折射角的正弦之比等于波在第一媒质中的波速与第二媒质中的波速之比。 （2）入射线、折射线和分界面的法线，在同一平面内，并且入射线和折射线在法线的两侧。,棱镜,全反射,1、全反射现象： 波从波密介射向波疏介质（n2n1)时，根据折射定律 若 会有 这是没有意义的，我们不可能求出任何实数的折射率。事实上，这时没有折射光,入射光全部返射回介质1,这个现象称为全反射。满足的入射角称为临界角,相应的折射角 。,显然 时,即i1 等于临界角ic 时, 入射光为线偏振光，反射光也为线偏振光
9、。,全反射、光学纤维,n1,n2n1,2、倏逝波： 它在介质光波导理论和技术中有重要应用。 实验表明，在全反射时，光波并非绝对地在界面上被全部反射回第一介质，而是透入第二介质很薄的一层表面（约为一个波长）并沿界面传播一些距离（波长量级）最后返回第一介质。透入第二介质表面的这个波称为倏逝波。,从满足电磁场边值关系来看，倏逝波的存在是必然的。 因为电场和磁场不可能中断在两种介质的分界面上，它应该满足边值关系，因而在第二介质中就一定会存在透射波。 只是在全反射下这个透射波有着特殊的性质，使它不能无限深入第二介质的内部。,必须指出：虽然在第二介质中存在倏逝波，但它并不向第二介质内部传输能量。 计算表明
10、，倏逝波沿z方向的平均能流为零。 这说明第一介质流入第二介质和由第二介质流入第一介质的能量相等。 进一步研究还表明，由第一介质流入第二介质的能量入口与返回的能量出口处相隔约半个波长通常称为古斯哈恩森（Goos-Haenchen）位移，这是造成全反射时反射光位相跃变的原因。,3、光学纤维,为了使更大范围内的光束能在光学纤维中传播，光纤应选择折射率差值较大的材料,2.7 波的叠加原理 波的干涉 驻波,一、波的叠加原理,（二）在相遇区域内，任一点的振动为两列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。,（一）两列波相遇后，仍然保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方
11、向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。,二、波的干涉（波的特征之三）,（一）干涉现象：水波的干涉 （二）相干波和相干波源,（三）相干条件 （1）频率相同 （2）振动方向相同 （3）相位相同或相位差恒定 （四）获相干波源的方法 （1）分波阵面法 （2）分振幅法,（五）干涉加强与减弱的条件（叠加原理）,两波在同一媒质中传播（波长均为），无吸收，振幅不变：,所以点 P 同时参与两个同方向、同频率的谐振动，合振动仍为简谐振动：,合振动初相为,合振动振幅为,例一 如图所示， 为两相干波源，相距 （为波长）。 较 的相位超前 。问在 的连线上， 外侧各点的合振幅如何？又在 外侧各点的合振幅如何？,解：两波源在任一点引起振动的相位差为,由题意,所以,所以,例二 如图，在同一媒质中，相距为20（m）的两点（A，B）处各有一个波源，它们作同频率（=100Hz） ，同方向的振动。设它们激起的波为平面简谐波，振幅为 5（cm），且 A 波源为波峰时，B 波源恰为波谷。求 AB 两点连线上因干涉而静止的各点的位置（波速为 200 ）。,解：由题意得,（1）AB 之间干涉静止的点：,所以,即,这些点将因干涉而静止不动。,（2）A 的左侧各点：,（3）B 的右侧各点：,上述各点均静止不动,
