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1、主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十四讲 1 四、微分的运算法则 五、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分 第二章 二、函数可微与可导的关系 三、微分的几何意义 2 我们已知，导数表示函数相当自变量变化的 问题。在某一过程中， 计算相应函数增量直接计算一般比较麻烦。 需要寻找一个计算函数增量的即简单， 于是引进了微分的概念。 因此我们 又有一定精确 度的近似公式。 当自变量有一很小的增量时， 快慢程度， 但在实践中还会遇到与导数密切相关的 3 引例1：自由落体运动距离 增量 那么函数的增量为 一. 微分的概念 4 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少
2、? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在取 得增量时, 变到边长由 其引例2: 5 的微分, 定义 若函数在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 在点可微, 6 二、函数可微与可导的关系 定理 函数 在点 可微的充要条件是 即 证: “必要性” 已知在点 可微 , 则 故在点 的可导, 且 7 定理 函数在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 8 说明: 时 , 所以时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小,
3、当 故当 且 9 三、微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 10 四、 微分的运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变性 5. 复合函数的微分 则复合函数 无论是中间变量还是自变量，均有 11 例如, 基本初等函数的微分公式 (见 P113表) 又如, 12 例1 已知 求 解: 13 已知求 解：因为 所以 例2 14 方程两边求微分, 得 已知 所确定求 解： 例3. 例4. 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 由方程 所确定求由 15 例5. 设由方程
4、所确定, 解: 方程两边求微分, 得 当时由上式得 求 16 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 17 五、 微分在近似计算中的应用 当很小时, 使用原则: 得近似等式: 18 特别当很小时, 常用近似公式:很小) 证明: 令 得 19 的近似值 . 解: 设 取 则 例7. 求 20 的近似值 . 解: 例8. 计算 21 例9. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 解: 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定
5、为 0.01cm , 22 内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的近似计算。 23 思考与练习 1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点 处的及并说明其正负 . 24 2. 微商 25 作业 P117 1；2写在书上 ；3; 4; 5；6；7；8 。 26 四、 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 27 误差传递公式 : 已知测量误差限为 按公式计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x , 28 例10. 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式 圆钢截面积 , 解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 试估计面积的误差 . 计算 (mm) 29
