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1、扬州中学高三数学11月考 2019.11.1 数学试题一、填空题（每小题5分，计70分）1已知集合则 2.设幂函数的图像经过点，则 3.已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为 .4. 若双曲线的虚轴长为2，则实数的值为_5. 已知,则“”是直线与直线平行的 条件（从“充分不必要、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数满足条件，则的取值范围是_7.若，则 8.设函数，则不等式的解集为 .9.已知直线与曲线切于点,且直线与函数的图象交于点.若，则的值为 .（第10题）10.如图，在圆：上取一点，为 轴上的两点，且，延长，分别与圆交于点，则直线的
2、斜率为 11.若直线上存在相距为的两个动点，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为 .12.在四边形中，AB6，AD2，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，8，则_13.若，均为正实数，则的最小值为_.14.给出函数，这里，若不等式恒成立，为奇函数，且函数恰有两个零点，则实数的取值范围为_二、解答题（共6道题，计90分）15、（本小题满分14分）如图，已知A、B、C、D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，.（1）求;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆的圆心为，直线.（1）若，求直线被圆所截得弦长的最大值；（2）若直线是圆心下方的切线，当在的变化时
3、，求的取值范围17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中的支撑杆由长为3的材料弯折而成，边的长为，(另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为)，此时记结构的最低点到点的距离为；曲线是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记结构的最低点到点的距离为（1） 求函数，的表达式；（2）要使得点到点的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分） 已知椭圆的左顶点为，
4、右焦点为，右准线为，与轴相交于点，且是的中点（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，都在轴上方，并且在之间，且记的面积分别为，求；若原点到直线的距离为，求椭圆方程19. (本小题满分16分） 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域m, n(m0)上为“依赖函数”，求的取值范围：（3）己知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的,不等式都成立，求实数的最大值.20（本小题满分16分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数在处的切线方程为，若函数
5、是上的单调增函数，求的值；（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由 数学(附加题)1、 已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵2、 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.3、现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表
6、如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.扬州中学高三数学月考 2019.11.1 试题一、填空题（每小题5分，计70分）1. 2. 3. 4. 5.充分必耍6.2，37.8.9.10.解析：.由题意，取,因为，所以，过原点所以，所以11.12. 解析：由得DCAB，且DC2，则AOBCOD，所以.因为E是BD的中点，所以，所以|2|28，所以4，所以()
7、|2|24364.13.解析：当，即时取得最小值为：14.2，0)4，)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（xa）2（ya）24a（0a4），则圆心C的坐标是（a，a），半径为2. 直线l的方程化为：xy40.则圆心C到直线l的距离是|2a|.设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L2 22.0a4，当a3时，L的最大值为 （2）因为直线l与圆C相切，则有2， 即|m2a|2.又点C在直线l的上方，aam，即2am. 2am2，m1.0a4，02.m 17. 解析： (1)对于曲线C1，因为曲线AOB的表达式为y1cos x，
8、所以点B的坐标为(t，1cos t)，所以点O到AB的距离为1cos t.因为DC32t，所以h1(t)(32t)(1cos t)2tcos t4；对于曲线C2，设C2：x22py，由题意得p，故抛物线的方程为x2y，即yx2，所以点B的坐标为，所以点O到AB的距离为t2.因为DC32t，所以h2(t)t22t3.(2)因为h1(t)2sin tm0，故，得0m1， 从而在上单调递增，故，7分 (3)若，故在上最小值0，此时不存在，舍去；9分若故在上单调递减，从而，解得 (舍)或 11分从而，存在，使得对任意的tR，有不等式都成立，即恒成立，由， 13分得，由，可得， 又在单调递减，故当时，
9、，15分从而，解得，综上，故实数的最大值为16分20.（1）当时，函数的定义域为则，令得，或 2分12+0-0+极大值极小值列表：所以函数的极大值为；极小值为 4分（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立 8分法一：变形得在上恒成立 ，所以，又，所以 10分法二：变形得在上恒成立 ，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以10分（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：因为，为同一直线，所以12分即整理得， 14分消去得， 令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以从而式不可能成立，所以
10、假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵.因为有特征值，其对应的一个特征向量为，所以，且，所以，解得.所以.2、【解析】易得直线，设点，P到直线l的距离，当且仅当，即时取“”，所以到直线距离的最大值为.3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率，所以每日学习积分不低于9分的概率为 （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3由（1）知每个人积分不低于9分的概率为则；所以，随机变量的概率分布列为0123P所以所以，随机变量的数学期望为4、【解析】（1）当时，不等式成立.假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据，可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得 .由（1）知，故有，而均小于，故对任意正整数，有.15
