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1、平稳过程通过线性系统的分析,线性时不变系统 频率响应与脉冲响应 线性系统的统计特性分析（均值和相关函数） 线性系统的谱密度,线性时不变系统,系统：对各种输入按一定的要求产生输出的装置。 如放大器，滤波器；波浪造成的轮船震动等。 设系统的输入为x(t)，系统的作用为L，输出为y(t)，则有 y(t)=Lx(t) 其中，“L”称为算子，可以是加法、乘法、微分、积分和微分方程求解等数学运算。,线性时不变系统,对一个系统，若算子是线性的则称该系统是线性的。,线性时不变系统,线性时不变系统（结论）,系统的线性，表现为系统的叠加性和比例性（Lkx(t)=kLx(t)），更通用的表征为： 系统的时不变性，表
2、现为输入和输出的依赖关系不随时间的推移而变化。 工程中，常用到的是输入和输出可用下列线性微分方程来描述的系统：,频率响应和脉冲响应,由线性信号的叠加性和比例性，可把输入信号看成许多单元信号所组成，而输出信号就是由各个单元信号分别通过线性系统后的总和 常常将输入信号分裂成单元脉冲信号和单元正弦信号，前者引出了 冲击响应法：从时域分析系统； 后者引出了 频率响应法：从频域分析系统 频域和时域的变换关系,频率响应和脉冲响应,频率响应函数： 意义：对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波，只不过振幅和相位有所变化。H(w)表示了这个变化，称为系统的频率响应函数。,频率响应和脉冲响应,脉
3、冲响应函数：,频率响应和脉冲响应,脉冲响应函数（续）： 对(1)式作一些变换，可得： 上面两式从时域描述了系统输入和输出间的关系，表明线性时不变系统的输出等于输入和脉冲响应的卷积，即,频率响应和脉冲响应,脉冲响应的傅氏变换：,频率响应和脉冲响应,输入x(t)和输出y(t)的傅氏变换： 输入频谱X(w)和输出频谱Y(w)有下列关系： Y(w)=H(w)X(w). 它从频域角度给出了系统输入和输出的关系。 对于物理可实现系统，冲击响应函数应满足以下条件：,线性系统输出的均值和相关函数,当线性系统的输入为确定信号时，常用微分方程来描述输入和输出的关系，用x(t)和y(t)来表示。 当线性系统的输入为
4、随机信号时，可用随机过程X(t)和Y(t)来表示。 x(t)和y(t)则用来表示随机过程的任一样本函数。 对随机信号，常用信号的统计特性：均值和相关函数来描述其输入和输出特性及二者的关系。 对线性系统的输出，有以下方法来研究其统计特性： 随机微分方程法：内容丰富但复杂。 冲击响应法和频谱法,线性系统输出的均值和相关函数,设X(t)和Y(t)为均方连续平稳过程，x(t)是X(t)的任一样本函数，有 可以证明，当输入过程X(t)为均方连续平稳过程时，其输出 也是平稳过程。,线性系统输出的均值和相关函数,线性系统输出的均值和相关函数,说明： 1. 当输入过程X(t)平稳时，其输出的均值EY(t)为常
5、数。相关函数 RY(t1 , t2)=RY( )表明输出是平稳的。并且，输出Y(t)和输入X(t)还 是联合平稳的。 2. 令v=-t，可得,线性系统输出的均值和相关函数,说明（续）： 从上式可以看出，输出的相关函数可以通过两次卷积产生，第一次是输入相关函数与脉冲响应的卷积，其结果是Y(t)和X(t)的互相关函数；第二次RYX( )是与 的卷积，其结果是RY( )。它们的关系如图：,R Y( ),线性系统的谱密度,用微分和冲击响应方法来求输出相关都比较复杂。 相关函数和功率谱密度是傅氏变换对，可以从输出谱密度来分析输入和输出的关系。,线性系统的谱密度,说明： 1. 线性系统的输出谱密度等于输入谱密度乘以增益因子。 2. 根据相关函数和谱密度的傅氏变换关系。可得输出相 关函数的另一个比较简单的求法。,线性系统的谱密度,线性系统的谱密度,线性系统的谱密度,
