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1、矩 阵 理 论,导 引,1、矩阵方法在电路网络中的应用,R6,KCL(基尔霍夫电流定律:在集总电路中，任何时刻，对任意结点,所有流出结点的支路电流的代数和恒等于零 )的矩阵表示,2. 在数值计算中的应用（Vandermonder矩阵）,出现在多项式插值中, 谐波恢复中,F称为Fourier矩阵，出现在离散Fourier分析 及快速Fourier变换中.,3. 盲信号分离中的应用,在离散时间t时刻，n个未知源信号S(t)=s1(t), sn(t)T被m个传感器观测到的信号X(t)=x1(t), xm(t)T，加性噪声V(t)=v1(t), vm(t)T，则观测信号和源信号之际的关系如下： X(t
2、)=AS(t)+V(t)， 其中A=(aij)为mn的未知列满秩混合矩阵， AT表示矩阵A的转置。为了讨论方便，这里假设无噪音，因此模型如下： X(t)=AS(t) (简记X=AS)。,假设传感器的个数m大于等于信号源的个数n， 各信号源si(t) (i=1, , n)之间相互独立，在此情 况下，BSS的目标就是根据累积量矩阵找到一 个mn的分离矩阵W，使得 Y=WX=WAS 是S的一个近似。,从上述表达式可以看出，分离矩阵W可以看作是混合矩阵A的某种“广义逆矩阵”。,根据假设源信号的统计规律，观测信号的二阶和高阶累积量矩阵组具有可联合对角化结构，可归结为数学问题如下：首先，根据观测信号得到一
3、组实对称的矩阵组G1, , Gk，其中Gi具有如下结构 Gi=AiAT，i=1, , k， 其中i是nn的未知的对角矩阵；其次，对给定矩阵组G1, , Gk利用联合对角化算法，估计混合矩阵A或者分离矩阵W；最后，计算得到源信号的估计 Y=WX。 此类算法属于非正交算法。,利用正交矩阵具有的性质，可把观测信号作白化预处理，然后再利用白化后的信号计算累积量矩阵，此时获得的累积量矩阵组具有可正交联合对角化结构。,归结为数学问题如下：首先，对观测信号X作白化处理得到白化后的信号Z=BX，其中B为白化矩阵；其次，根据白化后观测信号Z计算得到一组实对称的累积量矩阵组G1, , Gk，其中Gi具有如下结构
4、Gi=UiUT，i=1, , k, 其中i是nn的未知的对角矩阵，UUT=UTU=I，I表示单位矩阵。,最后，对给定累积量矩阵组G1，Gk利用正交联合对角化算法，估计混合矩阵U，并计算得到源信号的估计 Y=UTZ= UTBX。,4、信号滤波的矩阵分析：,5. Google矩阵,在互联 网上，如果一个网页被很多其它网页所链接，说明它受到普遍的承认和信赖，那么它的排名就高。这就是 PageRank 的核心思想。 当然 Google 的 PageRank 算法实际上要复杂得多。 比如说，对来自不同网页的链接对待不同，本身网页排名高的链接更可靠，于是给这些链接予较大的权重。PageRank 考虑了这个
5、因素，可是现在问题又来了，计算搜索结果的网页排名过程中需要用到网页本身的排名， 这不成了先有鸡还是先有蛋的问题了吗？,Google 的两个创始人拉里佩奇 （Larry Page ）和谢尔盖.布林 (Sergey Brin) 把这个问题变成了一个二维矩阵相乘的问题，并且用迭代的方法解决了这个问题。他们先假定所有网页的排名是相同的，并且根据这个初始值，算出各个网页的第一次迭代排名，然后再根据第一次迭代排名算出第二次的排名。 他们两人从理论上证明了不论初始值如何选取，这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们的真实值。值得一提的是，这种算法是完全没有任何人工干预的。,理论问题解决了，又遇到实际问题
6、。因为互联网上网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿个网页，那么这个矩阵 就有一百亿亿个元素。这样大的矩阵相乘，计算量是非常大的。拉里和谢尔盖两人利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量，并实现了这个网页排名算法。今天 Google 的工程师把这个算法移植到并行的计算机中，进一步缩短了计算时间，使网页更新的周期比以前短了许多。,6 机械力学,全长370米，宽4米，主跨144米，2000年6月10日开通。,中新浙江网11月7日电 伦敦千禧桥在2000年刚开放两天之后就关闭了，原因是在2000年6月这座桥的开放的那一天，当拥挤的人群走过的时候
7、，这个钢筋结构的，320米长的大桥开始从一边向另一边摇晃。据路透社伦敦报道科学家最新发现，千禧桥的摇晃不稳，是一种自然现象，而不是设计上的失误，引起这个摇晃的原因是一种叫做集体同步的现象。 “这种现象是指随意地，按照他们自己最喜欢的速度行走的人们，在没有任何组织的情况下，不自觉地使用同一种频率行走。”纽约康奈尔大学(Cornell University)的斯蒂文斯道格兹说。“就是这种现象。人们为什么会开始同步移动？他们完全是下意识的。这种情况是谁也没有想到，而设计桥的工程师也不曾预料到的。” 应用数学家和有关专家说，现在，集体同步现象应该是桥梁工程师在设计的时候就应该考虑到的问题。,斯道格兹和
8、他在康奈尔大学以及美国、英国和德国其他大学的同事基于发生在千禧大桥身上的事，设计出了一种理论，用来计算一座步行桥需要多少阻尼和稳定减摇作用。他们的这一发现将在科学期刊自然上发表。在一次采访中，他说：“我们认为我们的这个理论会为帮助桥梁设计师避免这样的问题提供一些指导。” 一定会有其他的可能发生集体同步现象的巧合情况。在伦敦千禧桥摇晃的事件中，是大批的人群穿过一步行桥，而这座桥的震动频率在每秒一周，恰好和人的步行频率相等。“人和桥产生了共振”，斯道格兹说。 当桥开始摇晃的时候，人们为了稳住自己而在摇晃中加紧步伐。他们为了更容易行走而加大了自己的步幅，而这样做使他们在无意中加剧了大桥的摇晃。,“很
9、多人在责备这座漂亮的，样式新颖的千禧大桥，认为是它的设计过于先锋导致的不稳固。而实际上并不是这样的。” 在自然界，有很多集体同步现象发生。比如蟋蟀会同时鸣叫。在某些地方，很多萤火虫会完全同步地一明一暗，像圣诞树上的彩灯一样。而住在一起的女人也会有月经趋于同步的现象。“这总是令人震惊甚至是诡异的，因为就像是从混乱中理出了头绪，”斯道格兹说。在花费了5百万英镑和关闭20个月对它进行整修和加固以后，伦敦千禧桥在2002年2月成功地重新开放通行了。,一个质点-弹簧系统,二次特征值问题在很多领域有其应用， 例如：机械力学的动力分析中，流体力学的 线性稳定性等领域。,一、线 性 空 间,1、什么是线性空间？,其中的元素也称为向量.,false,false,证：,Y,Y Y,解：,important,能证子空间非空时，先证其非空,证：,巧妙,证集合相等问题,
