矩阵及其初等变换.

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1、1,第二章 矩阵及其初等变换,矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算， 使得问题变得简洁和易于了解本质，矩阵是解线性方程 组的有力工具，是线性代数中的主要研究对象，矩阵理 论是线性代数的基本内容.,本章重点：,矩阵的运算及其运算性质 逆矩阵及其运算性质、存在条件、求法 矩阵的分块运算法 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵的秩及其性质,2,2.1 矩阵的概念,二、矩阵的定义与记号,一、关于矩阵,三、特殊矩阵,四、矩阵举例,3,一、 关于矩阵,1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概 念. 1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则. 矩阵的应用十分广泛：自然

2、科学、工程技术、社会科 学等许多领域. 如在观测、导航、机器人的位移、化学 分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计 算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用.,4,二、矩阵的定义与记号,Def2.1 由 个数 排成 的m行n列的数表,称为 行 列矩阵，简称 矩阵.,为表示这个数 表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表 示它，记作,5,这 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 位于矩 阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数 为(i,j)元的矩 阵可简记作 或 . 矩阵A也记作,矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在 数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的

3、概念.,矩阵的行数和列数不一定相等.,元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为 复矩阵.,6,同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.,矩阵相等：如果 与 是同型矩阵，并 且它们的对应元素相等，即,那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作,7,三、特殊矩阵,行矩阵(行向量)：,列矩阵(列向量)：,方阵：,8,零矩阵：,对角矩阵(对角阵)：,单位矩阵(单位阵)：,上三角矩阵：,下三角矩阵：,数量矩阵(纯量矩阵)：,9,四、矩阵举例,例1.1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵,其中 为工厂向第i店发送第j种产品的数量.,这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵,其

4、中 为第 种产品的单价， 为第 种产品单件重量.,从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.,10,例1.2 四个城市间的单向航线如下图所示，若令,则这个图可以用矩阵表示为,用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.,11,例1.3 n个变量 与m个变量之间的关系式,称为从变量 到变量 的线性变换.,12,2.2 矩阵的基本运算,一、矩阵的加法,二、数与矩阵的乘法,三、矩阵的乘法,四、矩阵的转置,五、方阵的行列式,六、矩阵的共轭,13,一、矩阵的加法,Def2.2 两个同为 的矩阵相加后得一 矩阵，其 元素为两矩阵对应元素的和. 即,只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行

5、加法.,14,15,矩阵的加法运算规则,交换律：,结合律：,设矩阵 记,称为矩阵 的负矩阵.,16,二、数与矩阵的乘法（矩阵的数乘）,Def2.3 阶矩阵A与一个数k相乘后得一 矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作,17,18,数与矩阵的乘法运算规则,矩阵的加法、数与矩阵的乘法合起来，统称为矩阵的线性运算.,19,三、矩阵的乘法,某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表：,20,这四种产品的售价(单位：百元)及重量(单位：千克)如下:,问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？,21,22,Def 2.4 设 ， 若定义一个新的 矩阵 其中,则称矩阵C为矩阵A与矩阵B

6、之积，记作,只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才 有意义.,乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩 阵的第j列对应元素乘积之和.,两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于 左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.,23,特别注意-乘积不可交换,AB乘积一般不可以交换，,(1) AB为 矩阵，但BA无意义；,若 则称矩阵 乘积可交换.,(2) AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵， BA为3阶矩阵.,(3),由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.,24,解:,A是 矩阵，B是 矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘. 乘积矩阵是

7、矩阵.,25,解:,此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即,26,例2.3 计算矩阵,的乘积AB.,解：,上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵，下三 角矩阵与下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.,27,矩阵的乘法-运算规则,或简写成,第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的,28,方阵的幂,设A是n阶方阵，定义,此定义表明， 就是k个A连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义.,29,称为方阵 的 次多项式.,由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式. 如,方阵的多项式,30,当A与B可交换时，有与数类似的乘法公式.,31,例2.4 计算矩阵乘积

8、,32,例2.5 求与矩阵A可交换的所有矩阵.(教材P44, Ex.4),解：,设与A可交换的矩阵为,33,例2.6 求矩阵A的幂 .(教材P42, 例9),解：,34,例2.7 求矩阵AB的幂 .(教材P42, 例10),解：,35,例2.8 求矩阵A的幂 .(教材P44, Ex.5-(3),解：,解：,36,2.2 矩阵的基本运算(续),一、矩阵的加法,二、数与矩阵的乘法,三、矩阵的乘法,四、矩阵的转置,五、方阵的行列式,六、矩阵的共轭,37,Def2.5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵， 叫做A的转置矩阵，记作 . 即,若,则,其中,则它的转置矩阵为,设矩阵,四、矩阵的转置,3

9、8,对称矩阵和反对称矩阵,设 为n阶方阵，如果满足 ，即,那么A称为对称矩阵，简称对称阵.,对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴，对应相等.,39,设 为n阶方阵，如果满足 ，即,那么A称为反对称矩阵，简称反对称阵.,反对称阵的特点是:它的主对角线上的元素全为零，其它的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数.,40,矩阵的转置-运算规则,41,例2.9 已知,求,解法1,解法2,此例验证了矩阵的转置运算规则4,42,注意 和 的区别,证:,所以H是对称阵.,例2.10 设列矩阵 满足 ， E为E为n阶单位矩阵， 证明H是对称阵，且,要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵的条件,

10、43,例2.11 设A与B是同阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的 充分必要条件是A与B是可交换矩阵.(教材P43,例11),证：,因为 ，所以有,当AB是对称矩阵即 时，有AB=BA，所以此 时A与B是可交换矩阵；,当A与B是可交换矩阵即AB=BA时，有 所 以此时AB是对称矩阵,故，AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B是可交换矩阵.,44,五、方阵的行列式,Def01 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位 置不变），称为方阵A的行列式，记作 或,特别注意,方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数表，而 行列式则是一个数.,方阵与它的行列式又是紧密相关的，方阵的行列式是方阵按照一定方式

11、确定的一个数，所以方阵的行列式可看作方阵的函数；同时，方阵的行列式是方阵特性的重要标志.,45,由A确定 -运算规则,注意,但,但,46,一方面，根据公式有,另一方面，,47,48,49,50,Def02 当 为复矩阵时， 用 表示 的共轭复数，记,称为 的共轭矩阵.,由A确定 -运算规则,六、矩阵的共轭,51,2.3 逆矩阵,一、逆矩阵的定义,二、逆矩阵的存在条件,四、逆矩阵的运算性质,三、逆矩阵的求法,五、逆矩阵的应用举例,52,一、逆矩阵的定义,Def2.6 对于n阶矩阵A ，如果有一个n阶矩阵B，使,则称矩阵A是可逆矩阵或者非奇异矩阵，并把矩阵B称为 A的逆矩阵，简称逆阵. 若不存在满

12、足上式的矩阵B，则 称A是不可逆矩阵或者奇异矩阵.,此定义表明只有方阵才可能有逆阵.,求逆矩阵运算可以看作矩阵乘法的逆运算. 但是能进行的 条件十分苛刻的.,53,二、逆矩阵的存在条件,Thm2.1 如果矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的. 因此，我们把矩阵A的逆矩阵记作 .,证:,假设矩阵A可逆，B、C都是它的逆矩阵,则,因此，,所以A的逆阵是唯一的.,54,为了讨论矩阵可逆的充分必要条件，先定义一个新矩阵,55,Def2.7 设 是n 阶矩阵 的行列式 中元素 的 代数余子式，则称矩阵,为矩阵A的伴随矩阵，记作,56,这是定理的充分条件，必要性是显然的,证:,根据伴随阵的性质，有,当

13、时，有,根据矩阵可逆的定义知，矩阵A可逆，且,Thm2.2 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 . 且如果A为可逆矩阵，则有,57,定理2给出了计算逆矩阵的一个方法：,1）计算,2）计算,3）写出,根据定理2，可以将定义中的条件AB=BA=E 改进一点.,58,推论 设A，B为n 阶矩阵，若AB=E 或者BA=E，则矩阵 A，B都可逆，且,此推论表明，要判断矩阵B是否是A的逆矩阵，不必严格 按照定义检验AB=BA=E，而只要检验AB=E或BA=E.,59,例3.1 设n 阶方阵A，B 满足A+B=AB，证明A E可逆, 并 给出 的表达式.(教材P51, Ex.8),解：,依据推论，只需寻找

14、到适当矩阵与A-B相乘的结果为E.,所以A E 可逆，且,60,三、逆矩阵的求法,方法一：直接依据定义，将矩阵A的逆阵的每个元素作为 未知数，列出线性方程组，参看教材P45,例1.,方法二：依据定理2，根据公式,方法三：依据初等矩阵的性质，运用初等变换求逆. (第五 节将介绍),61,例3.2 求二阶矩阵 的逆矩阵.,解：,所以，当 时，有,注意比较矩阵A与 ，此例的结果应作为公式记住.,62,例3.3 求方阵A的逆阵.,解：,所以 存在，再计算 的余子式，,63,四、逆矩阵的运算性质,若A可逆，则 亦可逆，且,若A可逆，数 ，则 亦可逆，且,若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆， 且,若A可逆，则 亦可逆，且,逆矩阵的行列式,方阵的负幂次方：若A可逆，规定,64,五、逆矩阵的应用举例,-求解矩阵方程,设A、B 为可逆矩阵，,65,例3.4 设矩阵X满足,其中矩阵,解：,由 得,由于 得 故 可逆，且,66,于是， 用 左乘、右乘 的两边，得,67,例3.5 设矩阵,求矩阵X，使之满足AXB=C.(教材P49,例5),解：,由 知A，B都是可逆矩阵，且,用 左乘，以 右乘AXB=C，得,68,例3.6 已知可逆矩阵,求其伴随矩阵 的逆矩阵.(教材P50,例6),解：,若按