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1、函数的单调性与最值,高一数学组,1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律：,随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？,函数单调性的定义,1增函数,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量 ，当 时，都有 ， 那么就说f(x)在区间D上是增函数,思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义,减函数,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量 ，当 时，都有 ， 那么就说f(x)在区间D上是减函数,注意： 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的
2、局部性质； 2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 .,2函数的单调区间的定义,如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是 减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：,例1.如图是定义在区间 -5, 5 上的函数 ， 根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区 间上，它是增函数还是减函数？,解：函数 的单调区间有 -5,-2 ), -2,1 ), 1,3 ), 3,5 .其中 在区间 -5,-2 ), 1,3 ) 上是减函数，在区间 -2,1 ), 3,5 上是增函数。,例2 证明函数 在区间 上是减函数。,3判断函数单调性的方法
3、步骤,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且 ； 作差 ； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差 的正负）； 判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）,请你归纳利用定义判断函数的单调性的步骤。,3判断函数单调性的方法步骤,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且 ； 作差 ； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差 的正负）； 判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）,课堂练习,课本第38页,练习1、2、3、4题,课堂小结,函数的单调性一般是先根据图象判断，再利
4、用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：,取 值 作 差 变 形 定 号 判断,课后作业,课本第39页 习题1.3(A组),第1234题,例3.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告 诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强P将增大，试用函数的单调性证明之。,分析：按题意，只要证明函数 在区间( 0, + )上是减函数即可。,证明：根据单调性的定义，设 是定义域 ( 0,+ )上的任意两个实数，且 ，则,由 ，得 ；,由 ，得 ；,所以，函数 是减函数， 也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。,即：,又 k0，于是,
5、函数的最值,思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义吗？,最大值的定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的 ， （2）存在 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）,例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的的最佳时刻？ 这时 距地面的高度是多少 （精确 到1m）？,解：作出函数 的图象， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是 这时距地面的高度。,于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m。,例4.求函数 在区间 2, 6 上的最大值 和最小值。,课堂练习,课本第38页,练习1、5题,课堂小结,函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：,取 值 作 差 变 形 定 号 判断,课后作业,课本第45页 习题1.3(A组),第34 5 题,
