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1、第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。解：二维情形，自由电子的能量是： ，在到区间：那么：其中：2. 若二维电子气的面密度为ns，证明它的化学势为：解：由前一题已经求得能态密度：电子气体的化学势由下式决定：令，并注意到： 那么可以求出：证毕。3. He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081 gcm3。计算它的费米能EF和费米温度TF。解：He3的数密度：其中m是单个He3粒子的质量。可得：代入数据，可以算得：EF 6.8x10-16 erg = 4.3x10-4 eV.则：4.97 K.4.已知银的密度为，当温度从绝对零度升到室温（300K）时，银金属
2、中电子的费米能变化多少？ 解：银的原子量为108，密度为，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为 在T=0K时，费米能量为 代如相关数据得 在时，费米能量 所以，当温度从绝对零度升到室温（300K）时, 费米能变化为 代如相关数据得 可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。5. 已知锂的密度为，德拜温度为370K，试求（1）室温（300K）下电子的摩尔比热；（2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热 （1）式中为绝对零度下的费米能： （2）锂的密度，原子量6.94，每立方厘米
3、锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物质中包含6.022x1023个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数 已知 将数据代入（2）得 在室温（300K）下，由（1）式可以求得电子的摩尔比热 代入相关数据得 （2）电子比热只在低温下才是重要的。在低温下，由德拜理论知道，晶格比热 依题设， 把（1）式代入，即得 代入相关数据得 T=4.42（K）6. 已知长为L的一维方阱中有N个电子，电子的能级为 .证明，T=0K时电子的平均能量 式中为绝对零度下的费米能。解： 电子在能级上的填充要受泡利原理的限制。从n=1的基态起，每个能级只能填充自旋相反的2个电子，N个电子将填满N/2个能级。这个最后填充的能级是绝对零度下的费米能级，因此， （1）电子的平均能量总等于总能量除以电子数。写成 则平均能量 因N/2远大于1，我们可以用一积分代替上面的求和，并将（1）代入，即得
