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1、重庆理工大学 硕士学位论文 关于局部对偶平坦的几类重要的-度量的研究 姓名：蒋经农 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：程新跃 2011-05-21 I 摘 要 本文着重研究了局部对偶平坦的几类重要的( ,) -度量，这里表示流形上的 一个黎曼度量，表示流形上的一个 1-形式. 我们首先在是局部射影平坦的情形 下刻画了局部对偶平坦的Randers度量. 进一步，我们在或满足某种特定条件的 情形下，刻画了局部对偶平坦的形如 2 ()F=+的( ,) -度量.我们还找到了一 组方程去刻画局部对偶平坦的Matsumoto度量 2 F = ，同时分类了局部对偶平坦 且具有迷向S-曲率的Mat
2、sumoto度量. 最后，我们刻画了局部射影平坦且具有迷向 S-曲率的两类重要的( ,) -度量. 关键词：芬斯勒度量，局部对偶平坦芬斯勒度量，局部射影平坦芬斯勒度量，S-曲 率，( ,) -度量. II Abstract In this paper, we mainly study some important classes of locally dually flat ( ,) -metrics, where denotes a Riemannian metric on a manifold and denotes a 1-form.We first characterize local
3、ly dually flat Randers metric under the condition that is locally projectively flat. Further, we characterize locally dually flat ( ,) -metric in the form 2 ()F=+ under certain conditions about and . We also find some equations that characterize locally dually flat Matsumoto metric 2 F = and classif
4、y those with isotropic S-curvature. Finally, we characterize two important classes of locally projectively flat ( ,) -metrics of isotropic S-curvature. Keywords: Finsler metric, locally dually flat Finsler metric，locally projectively flat Finsler metric， S-curvature，( ,) -metric. 重庆理工大学 学位论文原创性声明 重庆
5、理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。 除文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成 果、作品。对本文的研究做出重要贡献的集体和个人，均已在文中以明确方式标明。 本人承担本声明的法律后果。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权声明 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权重庆理工大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影
6、印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于（请在以下相应方框内打“” ） ： 1.保密，在 年解密后适用本授权书。 2.不保密。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 1 绪论 1 1 绪论 1.1 研究背景 局部对偶平坦的芬斯勒度量来自于信息几何. S. I. Amari 和 H. Nagaoka 在黎 曼空间研究信息几何时首先引入了对偶平坦度量的概念1.信息几何中局部对偶平 坦的度量有其特殊的信息结构.后来沈忠民教授将局部对偶平坦的概念推广到了芬 斯勒几何18. 对于流形M上的芬斯勒度量F，如果在任何一点处存在局部坐标系 () i x使得测地
7、系数满足 1 2 j iij y Gg H= ， 其中( , )HH x y=是裂纹切丛0TM上的光 滑标量函数且对所有正实数有 3 ( ,)( , )H xyH x y=，我们称度量F是局部对偶平 坦的18,这个局部坐标系叫着恰当坐标系. 我们知道一个黎曼度量( ) ij ij ax y y=是局部对偶平坦的充要条件是在一个 恰当坐标系下, 2 ( ) ( ) ij ij x ax x x = ，其中( )x是流形M上的一个光滑函数.在芬斯勒几 何情形，第一个非黎曼的局部对偶平坦的芬斯勒度量在3中被找到，该度量由下 式给出 2222 22 (,), 11 yxyx yx y F xx = ，
8、 这是定义在单位球 n B上的一个Randers度量. 因此， 一个自然和重要的问题就是研究和刻画局部对偶平坦的芬斯勒度量. 这一 方向的研究对深入理解芬斯勒度量的结构与性质有重要的意义，对揭示这类度量的 神秘面纱必将产生深远的影响. 2009年，程新跃教授和沈忠民教授首先刻画了局部 射影平坦且局部对偶平坦的芬斯勒度量，其次,他们找了一组方程去刻画局部对偶平 坦Randers度量，同时他们还分类了局部对偶平坦且具有迷向S-曲率的Randers度量4. 进而，一个自然的问题就是研究和刻画更一般的局部对偶平坦的( , ) -度量.本文我 们刻画了局部对偶平坦的几类重要的( , ) -度量. 1.2
9、 本文的主要结果 重庆理工大学硕士学位论文 2 首先我们考虑了局部对偶平坦的Randers度量，得到如下结果： 定理 1.2.1 设F=+是n维(3)n 流形M上的Randers度量，其中 ( ) ij ij ax y y=是黎曼度量，( ) i i b x y=为 1-形式.若是局部射影平坦的， 则F是 局部对偶平坦的芬斯勒度量当且仅当F是下列情形之一： （1）F是局部闵可夫斯基度量； （2）F是局部等距于 2222 2 (,)2, 1 yxyx yc x y F x + = + ， 其中 2 4c= ，c是一常数.当 1 2 c =时， F是Funk度量. 进一步，我们在具有常数截面曲率情
10、形下,刻画了局部对偶平坦的形如 2 () F + =的( ,) -度量，得到了如下结果： 定理 1.2.2 给定n维(3)n 流形M上的形如 2 )(+ =F的( ,) -度量，其中 是黎曼度量，为 1-形式.若具有常数截面曲率，则F是局部对偶平坦的当且 仅当F是局部闵可夫斯基度量. 若为闭的 1-形式，我们刻画了局部对偶平坦的形如 2 () F + =的( ,) -度 量. 定理 1.2.3 给定n维(3)n 流形M上的形如 2 )(+ =F的( ,) -度量，其中 是黎曼度量，为 1-形式.若是闭的 1-形式,则F是局部对偶平坦的当且仅当 F是局部闵可夫斯基度量. 我们还考虑了局部对偶平坦
11、的形如 2 F = 的( ,) -度量(我们称之为 Matsumoto度量)，得到了如下结果： 1 绪论 3 定理 1.2.4 给定n维(3)n 流形M上的Matsumoto度量 2 F = .则F是局 部对偶平坦的充要条件是和满足 ： 2 11 (2)(), 33 llll Gyb =+ 2 0 2 111010 , 3399 lllll sbby =+ 222 00 21 (22), 33 l l rbb =+ 其中( )x=是一个标量函数. 如果Matsumoto度量 2 F = 是局部对偶平坦且具有迷向S-曲率，我们可以 如下刻画它的局部结构: 定理 1.2.5 给定n维(3)n 流形
12、M上的Matsumoto度量 2 F = . . 则F是局 部对偶平坦且具有迷向S-曲率的充要条件是是平坦的且关于是平行的.此 时F局部等距于一个闵可夫斯基度量 2 ( ) i i y F y yb y = % ，其中 i b是常数,并且= 0S. 其次我们证明了形如 2 Fk =+的( ,) -度量为局部射影平坦且具有迷 向S-曲率的充分必要条件是它们为局部闵可夫斯基度量. 定理 1.2.6 给定n维(3)n 流形M上的形如 2 Fk =+的( ,) -度量， 其中0,0k为常数.则F为局部射影平坦且具有迷向S-曲率的充要条件是是 平 坦 的 且关 于是 平 行 的 . 此 时F局 部 等
13、距 于 一 个 闵 可 夫 斯 基 度 量 2 () i i i i b y Fyb yk y =+ % ，其中 i b是常数,并且 0=S. 重庆理工大学硕士学位论文 4 最后我们还证明了Matsumoto度量 2 F = 为局部射影平坦且具有迷向S-曲 率的充分必要条件是它们为局部闵可夫斯基度量. 定理 1.2.7 给定n维(3)n 流形M上的Matsumoto度量 2 F = .则F为局 部射影平坦且具有迷向S-曲率的充要条件是 是平坦的且 关于 是平行 的.此时F局部等距于一个闵可夫斯基度量 2 ( ) i i y F y yb y = % ，其中 i b是常数,并且 0=S. 2 局
14、部对偶平坦的 Randers 度量 5 2 局部对偶平坦的 Randers 度量 2.1 芬斯勒度量 1941年，G. Randers从广义相对论的研究中引出了一个形如( , )( )( )F x yyy=+ 的芬斯勒度量，其中( )y为一个黎曼度量，代表引力场；( )( ) i i yb x y=为一个1-形 式，代表电磁场.我们称这类芬斯勒度量为Randers度量.它们已经被广泛应用到许多 自然科学领域，包括生物、物理、心理等. Randers度量有十分丰富的非黎曼曲率性 质.对它们进行研究使人们更好地理解芬斯勒流形的结构与性质. 切丛TM上的非负函数( , )FF x y= 称为n维流形
15、M上的芬斯勒度量，如果它 满足以下三个条件： (i) F是裂纹切丛0TM上的光滑函数； (ii) ( ,)( , )F xyF x y=,其中0； (iii) 对任意( , )0x yTM,基本张量 2 1 ( , )( , ) 2 ijij y y g x yFx y= 是正定的. 对于流形M上的芬斯勒度量F，F的测地线( )c t在局部坐标() i x下可以由以下方 程刻画 2 2 2(,)0 ii i dxdx Gx dtdt +=， (2.1.1) 其中( ) i x t是( )c t的局部坐标， 22 1 4 mll iilm x yx GgFyF= ， (2.1.2) 我们称 i G为芬斯勒度量F的测地系数. 本部分中我们考虑了局部对偶平坦的Randers度量，得到了如下结果： 定理 2.1.1 设F=+是n维(3)n 流形M上的Randers度量，其中 重庆理工大学硕士学位论文 6 ( ) ij ij
