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1、 应用卷积积分计算任意非周期激励的响应随 时间的变化规律。 借助傅里叶变换给出频率域响应的表达式， 在频率域中讨论激励与响应的关系。 时域分析方法: 频域分析方法: 脉冲响应与复频率响应的傅里叶变换关系。 3.9 系统对任意激励的响应 傅里叶积分 单自由度线性系统受非周期激励的振动微分 方程为 (3.9-1) 令作用在系统上的激励具有如下的形式，即 (3.9-2) 周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示 ，亦即表达成为无穷个简谐分量的叠加。 对于任意非周期激励函数F(t)=kf(t)，可视 为周期T趋于无穷大的周期函数。因而第一时间 间隔无界限地拉长，使周期函数变成非周期函数 。 考虑傅里叶级数
2、的复数形式，即 非周期函数可视为周期为无穷大的周期函 数，使离散频率愈来愈接近，直到成为连续为止 。这时傅里叶级数就成为傅里叶积分。 (3.9-3) 系数Cp为 (3.9-4) 式中T=2/为激励函数的周期。 傅里叶级数式(3.9-3)和式(3.9-4)提供了有关 周期性函数f(t)的频率组成依据。 令p=p，因此有p=(p+1)-p=2/T， 将傅里叶展开式(3.9-3)和式(3.9-4)中的p以p和T 以2/p代替，写成 (3.9-5) (3.9-6) 当T，p0时，离散频率p就成为连 续频率，将TCp记作的函数F()，称作激励的 频谱函数。前面两式转化为傅里叶变换公式 (3.9-7) (
3、3.9-8) 积分式(3.9-8)称为关于函数f(t)的傅里叶变换， 它给出了f(t)的连续频谱函数。 积分式(3.9-7)称为关于函数F()的傅里叶逆变 换，它将非周期函数f(t)表示为频率为、幅值为 F()d的简谐分量的无穷叠加。 f(t)和F()共称为傅里叶变换对。 在非周期激励作用下，系统的响应又可由傅里叶 积分表示为 (3.9-9) (3.9-10) 式中 (3.9-11) 利用复频率响应函数H()，将f(t)以傅里叶 变换式(3.9-7)代入x(t)=H()f(t)，可得系统的稳态 响应为 因此x(t)与X()组成了傅里叶变换对。 比较式(3.9-9)和式(3.9-10)得 式(3
4、.9-12)为系统响应的频率域表达式，系统在频 率域的响应X()等于复频率响应H()与激励的傅 里叶变换F()的乘积。 (3.9-12) 例3.9-1 试用傅里叶变换法计算单自由度无 阻尼系统对图3.8-7所示的矩形脉冲激励F(t)的响 应x(t)，并画出频谱图。 图 3.9-1 解：因为f(t)=F(t)/k，函数f(t)可以定义为 (a) 利用式(3.9-8)，可以对f(t)进行傅里叶变换，积分得 (b) 当=0，复频率响应为 (c) 将方程(b)和(c)代入方程(3.9-12)，得到 (d) 于是，响应x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式，即 (e) 为了计算此积分，需要作复平面内的围道积
5、 分(这已经超出了本书的范围)，这里只给出积分 的结果，有 注意到本例题的响应x(t)的结果与例题3.8-4的结果 相同。 (f) 与f(t)有关的频谱由方程(b)给出，因为 ，方程(b)简化为 (g) 图3.9-1(a)表示F() 对的频谱图。此 外，与x(t)有关的 频谱由方程(d)给出 ，同理，方程(d)简 化为 图3.9-1(b)表示X()对的频谱图。 将此例题与例题3.8-4相比较，可以看出，对 于求响应x(t)的问题，用卷积积分要比用傅里叶变 换法简单，因为卷积积分能够避免本例题中涉及 到的复平面内围道积分的计算。 (h) 图3.9-1 拉普拉斯变换作为一种工具已经广泛地应用 于线
6、性系统的研究中。即 提供求解线性微分方程的有效方法； 用来表示联系激励和响应的简单代数式。 拉普拉斯变换既适合于瞬态振动，又适合于强 迫振动。 主要优点在于拉普拉斯变换可以不很困难地来 处理不连续函数，并且可以自动地考虑初始条件 。 3.10 用拉普拉斯(Laplace)变换法 求系统响应传递函数 用符号 来表示x(t)的拉普拉斯变换， 则x(t)的拉普拉斯变换定义为 (3.10-1) 因为式(3.10-1)是一个以t为积分变量的定积 分，所以将得出一个以s为变量的函数。 为了用拉普拉斯变换法求解系统(3.9-1)的响 应，需要计算导数 和 的变换。应用分部积分， 可以得出 式中x(0)为m的
7、初始位移。 (3.10-2) 式中s一般为一复量，函数 称为变换的核。 式中 为m的初始速度。 同理，二阶导数的拉普拉斯变换可以表示为 (3.10-3) 上式称为微分方程的辅助方程。第一项表示强迫 振动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。 对方程(3.9-1)两边进行变换，整理后得 (3.10-5) 或改写为 (3.10-6) 激励函数的拉普拉斯变换简单地表示为 (3.10-4) (3.10-7) 函数 称为系统的广义阻抗，包含反映系统特性 的所有参数，是以s为变量的复数域内的代数表达 式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。 (3.10-8) 称为系统的导纳。 如果不考虑方程(3.10-5
8、)的齐次解，即令x(0) = ，就可以将变换激励和变换响应之比写 成如下的形式，即 令 的倒数以表示，即 传递函数可以视为是一个代数算子，它对变 换激励进行运算就得出变换响应。 对于方程(3.10-5)所描述的二阶系统的这一 特殊情形，传递函数具有下面的形式，即 式中和n分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的固 有频率。 (3.10-9) 方程(3.10-9)可以改写为 (3.10-10) 方程(3.10-10)可以用图3.10-1表示，以代数算 子表示在拉普拉斯平面内的关系图。 (3.10-11) 一般来讲， 的运算将涉及在复数域内的线 积分，在很多情况下，这个积分可以用围道积分 来代替，从此还可
9、以转变为用复数代数中的剩余 定理来计算。 图 3.10-1 变换激励传递函数变换响应 响应x(t)由拉普拉斯逆变换求得。既从变换 响应回到x(t)，需要计算 的拉普拉斯逆变换， 它可以表示成为 例3.10-1 脉冲响应。设在t=a处作用一单位 脉冲激励。可以得出其拉普拉斯变换为 先对方程(a)作一些说明： l对于任何不等于a的值，函数为零，以(t-a)乘 任一函数f(t)，使f(t)在ta时的值都等于零； l当t=a时，f(t)=f(a)，于是有f(t)(t-a)=f(a)(t-a)。 l由于(t-a)的持续时间为无穷小，所以式中的 f(a)为常数。 l又因为方程(a)中的 起f(t)的作用，
10、所以得到 (t-a)= (t-a)，这里 为一常数。 (a) 对于脉冲响应来说，激励具有F(t)=(t)的形 式，从此可以得出a=0和 。根据方程(3.10- 10)，立即得到 即脉冲响应简单地为传递函数的拉普拉斯逆变换 。 (b) 因而，脉冲响应的拉普拉斯变换 等 于传递函数 。由此，脉冲响应为 (c) 考虑单自由度有阻尼系统，从方程(3.10-9)可 以用部分分式的形式写出其传递函数，即 因为 (d) 这与用经典方法得到的式(3.8-13)相同。因为当t0 时，没有激励，所以方程(f)应该乘以u(t)后，才与 实际相符。 从方程(c)和(d)得出脉冲响应为 (f) 例3.10-2 阶跃响应
11、。设F(t)=u(t-a)，可以写 出其拉普拉斯变换为 (a) 显然，当F(t)=u(t)，也就是说当a=0时，有 。 代入方程(3.10-10)，得到 (b) 式中 为g(t)的拉普拉斯变换。因而阶跃 响应为 (c) 从例题3.10-1中的方程(e)，可以得到阶跃响应为 考虑单自由度有阻尼系统，从方程(3.10-9) 可以用部分分式的形式写出 ，即 (d) (e) (f) 描述系统响应特性的在时域和频域中分别定 义的脉冲响应函数h(t)和复频率响应函数H()恰好 组成傅里叶变换对。 令激励函数为单位脉冲形式 (3.11-1) 此时系统的响应为脉冲响应，即 (3.11-2) 将式(3.11-1
12、)代入式(3.9-8)得出该激励的傅里叶变换。 这里应用 。 (3.11-3) 3.11 复频率响应与脉冲响应之间的关系 因为F(t)=k(t)，上式所给出的脉冲响应对应于弹 簧常数k等于1。同样，根据式(3.9-11)，式(3.11-2) 和式(3.11-4)，有 根据方程(3.9-12)得到 (3.11-4) 根据式(3.9-10)，式(3.11-2)和式(3.11-4)，有 (3.11-5) (3.11-6) 明显可以看出，复频率响应H()脉冲响应 h(t)为傅里叶变换对。因此，系统的特性可以用 复频率响应H()在频率域内描述，也可以用脉冲 响应h(t)在时间域内描述，它们之间的关系可以 用图3.11-1表示，图中的双箭头表示傅里叶变换 对。 F(t)h(t)x(t) F()H()X() 时间域 频率域 图 3.11-1
