二次函数的同象和性质

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1、二次函数的同象和性质 第十四讲【基础知识回顾】一、二次函数的定义：二次函数的同象和性质（a、b、c 是常数 a0）那么 y 叫做 x 的二次函数 【名师提醒： 二次函数 y=kx 2+bx+c(a0)的结构特征是：1、等号左边是函数， 右边是 关 于 自 变 量 x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数 a 0】一般地如果 y= 二、二次函数的同象和性质： 1、二次函数 y=kx +bx+c(a0)的同象是一条2，其定点坐标为对称轴式2、在抛物 y=kx +bx+c(a0)中：2、当 a0 时，y 口向 x 时，y 随 x 的增大而增大， 、 当 a

2、0 时， 开口向，当 x ?b 时，y 随 x 的增大而 2a，当当 x ?b 时， y 随 x 增大而增大， 当x 2a时，y 随 x 增大而减小 【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标 2 2、y= ax +k，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2 对称轴 定点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移 【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛 物线的平移，只要关键的顶点平移即可】 四、二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系： a:开口方向 向上则 a 0

3、,向下则 a 0 a越大，开口越 b:对称轴位置，与 a 联系一起，用 判断 b=0 时，对称轴是 c:与 y 轴的交点：交点在 y 轴正半轴上，则 c 0 负半轴上则 c 0，当 c=0 时，抛物点过 点 【名师提醒：在抛物线 y= ax2+bx+c 中，当 x=1 时，y= 当 x=-1 时 y= ,经常根据对应的函数值判考 a+b+c 和 a-b+c 的符号】 【重点考点例析】 考点一：二次函数图象上点的坐标特点例 1 （2015?常州）已知二次函数 y=a（x-2）2+c（a0） ，当自变量 x 分别取 2 、3、0 时， 对应的函数值分别：y1，y2，y3， ，则 y1，y2，y3

4、的大小关系正确的是（ ） Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2 对应训练 1 （2015?衢州）已知二次函数 y= ?1 2 15 x -7x+ ，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0x1 2 2x2x3，则对应的函数值 y1，y2，y3 的大小关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy2y3y11 2 15 x -7x+ ， 2 2 b ?7 此函数的对称轴为：x= ? =? ? ?7 ， 2a 1 2 ? (? ) 22解：二次函数 y= ? 0x1x2x3，三点都在对称轴右侧，a0， 对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，

5、 y1y2y3 故选：A考点二：二次函数的图象和性质例 2 （2015?咸宁）对于二次函数 y=x2-2mx-3，有下列说法： 它的图象与 x 轴有两个公共点； 如果当 x1 时 y 随 x 的增大而减小，则 m=1； 如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m=-1； 如果当 x=4 时的函数值与 x=2008 时的函数值相等，则当 x=2012 时的函数值为-3 其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上） 考点： 二次函数的性质； 二次函数图象与几何变换；抛物线与 x 轴的交点对应训练2 （2015?河北）如图，抛物线 y1=a（x+2）2-3 与 y2=1 （x-3）2+

6、1 交于点 A（1，3） ，过点 2A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C则以下结论： 无论 x 取何值，y2 的值总是正数；a=1；当 x=0 时，y2-y1=4；2AB=3AC； 其中正确结论是（ ） A B C D1解：抛物线 y2= （x-3）2+1 开口向上，顶点坐标在 x 轴的上方，无论 x 取何值， y2 的值总是正数，故本小题正确； 把 A（1，3）代入，抛物线 y1=a（x+2）2-3 得，3=a（1+2）2-3，解得 a= 错误； 由两函数图象可知，抛物线 y1=a（x+2）2-3 过原点，当 x=0 时，y2= 故 y2-y1=1 22 ，故本小题 31 1

7、1 （0-3）2+1= ， 2 211 ，故本小题错误； 2物线 y1=a（x+2）2-3 与 y2=1 （x-3）2+1 交于点 A（1，3） ， 2y1 的对称轴为 x=-2，y2 的对称轴为 x=3， B（-5，3） ，C（5，3） AB=6，AC=4， 2AB=3AC，故本小题正确 故选 D考点三：抛物线的特征与 a、b、c 的关系例 3 （2015?玉林）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为 x=1，有如 下结论： c1；2a+b=0；b24ac；若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=2， 则正确的结论是（ ） A B C D

8、思路分析：由抛物线与 y 轴的交点在 1 的上方，得到 c 大于 1，故选项错误；由抛物线的 对称轴为 x=1，利用对称轴公式得到关于 a 与 b 的关系，整理得到 2a+b=0，选项正确； 由抛物线与 x 轴的交点有两个，得到根的判别式大于 0，整理可判断出选项错误；令抛物 线解析式中 y=0，得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得 到的 a 与 b 的关系式代入可得出两根之和为 2，选项正确，即可得到正确的选项 解：由抛物线与 y 轴的交点位置得到：c1，选项错误； 抛物线的对称轴为 x= ?b =1，2a+b=0，选项正确； 2a由抛物线与 x 轴有两个交点

9、，得到 b2-4ac0，即 b24ac，选项错误； 令抛物线解析式中 y=0，得到 ax2+bx+c=0， 方程的两根为 x1，x2，且 ? x1+x2= ?b b =1，及 ? =2， 2a ab =2，选项正确， a综上，正确的结论有 故选 C 点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系， 关键是熟练掌握二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系 数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称

10、：左同右异）常数项 c 决定 抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c） 对应训练3 （2015?重庆）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示对称轴为 x= ? 结论中，正确的是（ ） Aabc0 Ba+b=0 C2b+c01 下列 2D4a+c2b3D 3解：A、开口向上， a0， 与 y 轴交与负半轴， c0， 对称轴在 y 轴左侧， ?b 0， 2ab0， abc0， 故本选项错误； B、对称轴：x= ?b 1 =? ， 2a 2a=b， 故本选项错误； C、当 x=1 时，a+b+c=2b+c0， 故本选项错误； D、对称轴为 x= ?1 ，与 x 轴的一个

11、交点的取值范围为 x11， 2与 x 轴的另一个交点的取值范围为 x2-2， 当 x=-2 时，4a-2b+c0， 即 4a+c2b， 故本选项正确 故选 D考点四：抛物线的平移例 4 （2015?桂林）如图，把抛物线 y=x2 沿直线 y=x 平移 2 个单位后，其顶点在直线上 的 A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ） 2 2 Ay=（x+1） -1 By=（x+1） +1 Cy=（x-1）2+1 Dy=（x-1）2-1思路分析：首先根据 A 点所在位置设出 A 点坐标为（m，m）再根据 AO= 2 ，利用勾股 定理求出 m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式 解

12、：A 在直线 y=x 上， 设 A（m，m） ， OA=2，m2+m2=（ 2 ）2， 解得：m= 1（m=-1 舍去） ， m=1， A（1，1） ， 抛物线解析式为：y=（x-1）2+1， 故选：C 点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出 A 点坐标，掌握抛物线平移 的性质：左加右减，上加下减对应训练4 （2015?南京）已知下列函数y=x2；y=-x2；y=（x-1）2+2其中，图象通过平移可 以得到函数 y=x2+2x-3 的图象的有 （填写所有正确选项的序号） 2 4解：原式可化为：y=（x+1） -4， 由函数图象平移的法则可知，将函数 y=x2 的图象先向左平移

13、1 个单位，再向下平移 4 个单 位即可得到函数 y=（x+1）2-4，的图象，故正确； 函数 y=（x+1）2-4 的图象开口向上，函数 y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到， 故错误； 将 y=（x-1）2+2 的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 6 个单位即可得到函数 y=（x+1）2-4 的图象，故正确 故答案为：【聚焦山东中考】2 1 （2015?泰安） 二次函数 y=a （x+m） +n 的图象如图， 则一次函数 y=mx+n 的图象经过 （ A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限）2 （2015?济南）如图，二次函数的图象经过

14、（-2，-1） ， （1，1）两点，则下列关于此二次函 数的说法正确的是（ ） Ay 的最大值小于 0 B当 x=0 时，y 的值大于 1 C当 x=-1 时，y 的值大于 1 D当 x=-3 时，y 的值小于 02D 2解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以 y 的最大值大于 1，不小于 0；故本选项错误； B、由图象知，当 x=0 时，y 的值就是函数图象与 y 轴的交点，而图象与 y 轴的交点在（1， 1）点的左边，故 y1；故本选项错误； C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，-11，x=-1 时， y 的值小于 x=-1 时，y 的值 1，即当 x=-1 时，y 的值小于 1；故本选项错误； D、当 x=-3 时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以 y 的值小于 0；故本选项正确 故选 D 3 （2015?菏泽） 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示， 那么一次函数 y=bx+c2和反比例函数 y ?a 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ x）ABCD3C 3解：二次函数图象开口向下，a0， 对称轴 x= ?b 0， 2ab0， 二次函数图象经过坐标原点， c=0， 一次函数 y=b