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1、内蒙古民族大学 硕士学位论文 关于（，m）-凸函数的HermiteHadamard型不等式的研究 姓名：白瑞芳 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：宝音特古斯 20100401 摘要 凸函数是数学学科中重要的一类函数，凸函数具有良好的几何性质，且在众多领 域中具有广泛的应用，同时也在证明一些比较复杂的不等式方面起着重要的作用目 前，世界上有许多数学家探讨和研究凸函数与不等式之间内在的关系问题，并利用凸 函数的一些性质来研究不等式，这种研究方法比传统方法更简洁，明了故凸函数在 不等式研究中所发挥的作用是无可取代的 1 8 8 1 年，H e r m i t e 首先提出了凸函数的一个积
2、分不等式( 见 1 】，或 2 ，p 1 3 7 】) ： 设f ( x ) 是区间 口，b 】上的凸函数，则 ( 6 - 口) 丌字) 胁) d x 0 ，口+ = 1 ，有 f ( x 口Y ，) f 口( x ) f p ( y ) ， 则称f ( x ) 为，上的几何凸函数 定义1 1 6 ”5 1 设厂( x ) 为区间IcE 上的正值函数，若对任意的工，y ， 力 O ，1 】，有 f ( M ，( x ，Y ，五) ) M ，( ( x ) ，厂( J ，) ，兄) ， 其中 r三 M ( 工Y ，A ) ： ( 五z 7 + ( 1 _ 五) 少) 7 ，厂o ， lx t y
3、 卜z ， ，= 0 ， 则称f ( x ) 为，上的，一凸函数 特别的，当，= 0 时称为几何凸函数 定义1 1 71 1 6 , 1 7 1 设，关于刀为不变凸集，厂：，寸尺，若对任意的工，Y ，兄 O ，1 ， 有 厂( y + 2 r 1 ( x ，Y ) ) 2 f C x ) + ( 1 2 ) f ( y ) ， 则称f ( x ) 是关于，7 的预不变凸函数 显然当q ( x ，Y ) = x - y 时，就退化为凸集，上的凸函数 定义1 1 8 设，关于7 7 为不变凸集，f ：，一足，若对任意的五y ，五 O ，l 】， 有 f ( Y + 2 r ( x ，J ，) )
4、5A I ( 厂( x ) ，f ( Y ) ，五) ， 则称f ( x ) 是关于7 7 的，一预不变凸函数 定义1 1 9 8 2 9 珈l 设厂：【0 ，b 】_ 尼b O ，册( O ，1 】，若对任意的x ，Y “O ，b 】，t 【O ，1 】， 有 f ( t x + m ( 1 - t ) y ) s 矿( x ) + ，行( 1 一t ) f ( y ) ， 则称f ( x ) 为【0 ，b 】上的r t l 一凸函数 定义1 1 1 0 3 0 1 设：【O ，b 】寸R ，b 0 ，m ，口( O ，l 】，若对任意的x ，y 【0 ，b 】， t 【0 ，l 】，有 (
5、 I x + m 0 - t ) y ) t f ( x ) + m O - - t 口) 厂( y ) ， 则称f ( x ) 为 O ，b 】上的 ，聊) 一凸函数 本文将定义职一对数凸函数，朋) 一对数凸函数，册一算术调和凸函数，肌一 内蒙古民族大学硕士学位论文3 几何凸函数和位，肌) 一几何凸函数的概念，并研究它们的H e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等 式，得到一些结果的 1 2H e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等式的研究现状 1 8 8 1 年，H e r m i t e 首先提出了凸函数的一个积分不等式(
6、见【1 】，或 2 ，p 1 3 7 】) ： 设f ( x ) 是区间【口，b 】上的凸函数，则 ( 胁，“半) 胁邮( 6 - 口) 盟笋 1 8 9 3 年，H a d a m a r d 证明了( 【3 ，p 4 4 l 】) ： 设f ( x ) 是区间陋，b 】上的凸函数，则 厂( 字) 0 ( i = l ，2 ，刀) ， 【“，v , lc a ，6 】，Q = 五，去( 珥+ v ，) = Q 。1 五，k = O ，1 ，2 ，? ，令 F(x)=m)at-(x-a)f(半k口，b,11 】，) = I 厂( ，l 等二l ，工 口，】， I，J 础) = 喜坝咿鲁e 邝冲
7、，G ( o ) - 0 ， 则F ( x ) 在陋，6 】上严格递增G ( k ) 为k 的递增函数 现阶段对H e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等式的研究已经不仅仅局限于经典凸函数的范 畴，许多数学家开始研究一些广义的凸函数下的H e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等式( 见文 2 1 4 2 】) ，特别是文 4 2 1 总结了2 0 0 2 年之前的H e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等式的研究T 作，在此我们列举与本文有关的一些已有的结果 2 0 0 6 年，赵伟珍在文【2 3
8、给出了对数凸函数的H e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等式： 定理1 2 5 设厂( x ) 为 口，6 】上的对数凸函数，p , q O 。彳：p a + q b ，则对于 o 0 ，历，口( O ，1 】，若对任意的x ，Y O ，6 】， O ，1 1 ， 有 厂( 舫+ m ( 1 - t ) y ) t “ f ( x ) + m ( 1 - t 口) 厂( y ) ， 则称f ( x ) 为 0 b 上的( 口，研) 一凸函数 本章首先定义m 一对数凸函数和( 口，优) 一对数凸函数，然后研究了m 一对数凸函 数和( 口，m ) 一对数凸函数的H
9、 e r m i t e - - H a d a m a r d 型不等式，得到几个结果 下面，我们定义m 对数凸函数和 ，肌) 一对数凸函数： 有 定义2 1 3 设厂：【O ，b 专足，b 0 ，m ( O ，1 】，若对任意的工，Y “O ，b 】， f ( t x + m ( 1 - t ) y ) I f ( x ) 1 【厂( y ) 】”1 叫， ， O ，1 】， ( 2 2 1 ) 则称f ( x ) 为【0 ，b 】上的m 一对数凸函数 当m = 1 时，由式( 2 2 1 ) 定义的m 一对数凸函数为对数凸函数 定义2 1 4 设厂： 0 ，b 】- - 足，b 0 ，m
10、 ，口( O ，l 】，若对任意的x ，Y O ，6 】，f O ，1 】， 有 f ( t x + m ( 1 - t ) y ) 。，甜 证令= l c 刮l 厂( 去) r ，那么 。， ( i ) 当q 1 时，由引理2 1 1 、H 6 1 d e r 不等式和定义2 1 4 ，有 l 半一击出l - 字| f ( 1 2 c 州煳叫 字( f 1 1 砌I 西门f 1 1 - 2 ，I | 厂( 州删 那么有 - 6 - 一7 - 口- f ，t 7 1 、孚l 厂，( 鲁) l 肿( fl t 一2 r p 掣4 出) 巨( 口，肌，g ) = f I l 一2 ，p 旷d t
11、， )、 g，一r 叼垡，口 以 “ ，L，一 一2巧 互 内蒙古民族大学硕士学位论文 9 当= 1 时，有 E l ( c t , m , q ) = J cJ 1 2 ，l 出= 圭， 当0 叭， 乓( 口，肌g ) = f j l 一2 ，p 办 委， ；l ， 广1 五( ，口9 ) ，, I t 。， 厂( 字) 一击挑肛h ( 断州叫卅l ( 1 _ 帆州叫6 ) 字( 吼抄r 懈) 厂出m ”训八刮懈) r 出 ：6 - 4 a L ( 2 a 1 字l 厂，( 鲁) l 。f ( f 泓咿“斫 名+ ( 乓( 1 - t ) a 。d t ) 巨c 口，m g ，= ( f ，
12、掣4 衍) 名+ ( 1c 一，卅4 西) 石， 当= 1 时，有 最c 口，朋，g ，= II i ，掣4 出 石+ ( 1 ( 1 - 1 ) p q ：d t 名= 2 ( 丢) 名， 1 2 关于几个平均值函数的单调性及凸性的研究 易c 口，肌，g ，= ( f ，二矿。西 名+ ( 1c t - t ) k t 。d t 名( 手r 口伊出 名+ ( 乓( 1 - t ) k t * q d t ) 石 _ ( 赤眵帆志卜秒咿等旷 当z 1 时，有 易c a ，m ，g ，= ( 手，4 西 名+ ( 1 ( 1 - t ) f l q t 4 d t ( f ，詈7 出 名+ (
13、乓c 一r ，詈：出 = ( 禹( h w “肌禹p 扣吵寺旷 从而记 脚，= 熹 卜川= 赤卜“i ， z ， 0 ， 0 ，“1 ，有 则 易( 口，m ，q ) = 2 ( 舻 = 1 ， ( E ( ，口g ) ) ；+ ( 5 ( ，口g ) ) ，o 0 ) 上的正值函数，m ( 0 ，l 】，若对任意的 x ，Y 0 ，b ，f O ，1 ，有 f ( x 7 Y ”卜，) ) 【厂( 工) 】【厂( y ) 】删叫，( 3 1 2 ) 则称f ( x ) 为 O ，b 】上的m 一几何凸函数 当肌= 1 时，由式( 3 1 2 ) 定义的所一几何凸函数为几何凸函数 定义3 1
14、3 设函数f ( x ) 为 0 ，6 】( 6 0 ) 上的正值函数，肌，口( 0 ，l 】，若对任意的 x ，Y O ，6 】，【0 ，1 】，有， f ( x 7 Y 舶1 叫) 【厂( x ) 】产 厂( y ) 】”1 叫。， ( 3 1 3 ) 则称f ( x ) 为 0 ，b 】上的( 口，m ) 一几何凸函数 当口= m = 1 时，由式( 3 1 3 ) 定义的( 口，m ) 一几何凸函数为几何凸函数 弓I 理3 1 1 若x ，y R ，x 时，由引理2 - 、H 6 d e r 宰一 2山1 字( 兰) 等 2I2J = 字( 圭 等 = 一I l22J 厂( 默 f船=
15、土f11-2，印=一IU m ) t - I - m m2 m ， 山( 一 内 K ( 甜，脚，q ) = h ( 等) ， “= m ， h ( 趔4 m u 卜脚 IJ 。 t ) l f 玎 - l 刍尚 一q 、l-， 以 叮 、l ， 6 、， f JpIJ一 出 0 土 生2 = 出 力 有 八 ，七 函 义 一 持 q 一2塑2 尚持 嘉尚 从而得 字( 鼎斜枷圳， 一击胁，刮字f | 1 - 2 杪c 州卅撇 字陷) | f 上( u - m ) 虬t + m = 字懈) 胁吣 州。f 华一击刮字( 卿斜枷刎， 证毕 “ 其中 墨( 材，脚，g ) 且为，内可微函数，对口，beR 。 1 ) 上的m 一算术调和凸函数， f 厂( 爿一击胁协陋6 - o ( 11 字州， 斗( 冰m f ) - ”， 志H 南u - m ) ：k 熹+ 志广 证令甜= j 厂( 砉爿9 ( 1 厂c 口) f )
