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1、,回归直线及方程,方案一:先画一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动 直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜 率和截距,就可得到回归方程了.,但是,这样做可靠吗?,操作性比较困难,方案二:在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的 点的个数基本相同.,这样做能保证各点此与直线在整体 上是最接近的吗?,准确性不高,从散点图我们可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.,那么当人的年龄增加时,体内脂肪到底是以什么方式增加的呢?,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条 直线叫做回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程 (简称回归方程
2、),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与 体内脂肪含量的相关性,就像平均数可以作为一个变量的 数据代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关 关系的代表.,那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?,我们还可以找到更多的方法，但这些方法都可行吗?科学吗？准确吗？怎样的方法是最好的？,我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法。,方案三:在图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分 别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均 数当成回归方程的斜率和截距.,同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?,这样,用这n个偏差的和来刻画”各点与此直线的整体 偏差”是比较合适的
3、,但由于它含有绝对值,运 算不太方便,所以改用:,这样,问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小,即总体 偏差最小.经过数学上求最小值的运算,求a,b的公式为:,实际上,求回归方程的关键是如何利用数学的方法 来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.,假设我们已经得到两个具有线性相关关系变量的一组数据 (x1,y1), (x2,y2), , (xn,yn). 且所求回归方程是 ,其中a,b是待定系数.,我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式:,以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平
4、方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P88）,例2：观察两相关变量得如下表：,求两变量间的回归方程,解：,最小二乘法求回归直线方程：,（1）公式：,回归方程为：,解1：,画散点图：,由散点图可知，两者之间不具有线性相关关系，求回归直线方程无意义。,求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 ; 第二步：计算 ; 第三步：代入公式计算b,a的值； 第四步：写出直线方程。,总结,二、求线性回归方程,例1：观察两相关变量得如下表：,判断两变量的相关关系，求回归直线方程有意义吗？,列表：,计算得:,(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。,例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：,摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36,热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54,(1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；,(3)求回归方程； (4)如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。,解: (1)散点图,(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。,（1）判断变量之间有无相关关系，简便方法就是画散点图。 （2）会求线性回归方程 （3）利用回归方程，可以进行预测。,小结,
