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1、 根据圆的轴对称性，存在与A点重合 的一点B，且落在圆，连接OB，则它 也是o的一条半径。 O P A B 你能发现OA与PA，OB 与PB之间的关系吗？ PA、PB所在的直线分别是o两条切线。 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长 O P A B 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 o o p 1.连结OP 2.以OP为直径作O， 与O交于A、B两点。 A B 即直线PA、PB为O的切线 如图，已知O外一点P，你能用尺规过点P 作O的切线吗？ 通过作图你能发现什么呢？ 1.过圆外一
2、点作圆的切线可以作两条 2.点A和点B关于直线OP对称 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段 的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长是 一条线段 o p A B 如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。如果连结OA、 OB、OP，图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？ PA、PB是O的切线， A、B为切点 OAPA，OBPB 又OAOB，OPOP RtAOPRtBOP PAPB，APOBPO 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 o p A B PA、PB是O的切线， A、B为切点 PAPB，APOBPO 如图，若连接A
3、B，则OP与AB有什么关系？ PA、PB是O的切线， A、B为切点 PAPB，APOBPO OPAB，且OP平分AB C D 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点 的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所 成的弧。 AD与BD 相等吗？ 思考思考 如图如图, ,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮, ,如何在它上面截下如何在它上面截下 一块圆形的用料一块圆形的用料, ,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢? ? I D 内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义: : 与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆. . 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交
4、点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, ,叫叫 做做三角形的内心三角形的内心. . o 外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离 。 三角形外接圆三角形内切圆 o 内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离 。 A A B B C C 例3、如图 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分 别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm， CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设 AF=x（cm），则 AE=x， CD=CE=ACAE=13x， BD=BF=ABAF=9x， 由BD+
5、CD=BC可得 （13x）+（9x）=14. 解得 x=4cm. 因此 AF=4（cm）， BD=5 （cm）， CE=9 （cm）. C A B E F O D 直角三角形的内切圆 已知:如图,O是RtABC的内切圆 ,C是直角,AC=3,BC=4. 求O的半径r. A BC O O D E F （1）点O是ABC的内心， BOC=180 (1 3) = 180 (25 35 ) 练习： 如图，在ABC中，点O是内心， 若 ABC=50， ACB=70，求BOC的度数 A B C O =120 )1 ( 3 2 ) 4 ( 同理 3= 4= ACB= 70 = 35 1= 2= ABC= 5
6、0= 25 三角形的内切圆 已知:如图,ABC的面积为S,三 边长分别为a,b,c. 求内切圆O的半径r. A BC O O D E F 这个结论可叙述为:三角形的面积等于其周 长与内切圆半径乘积的一半. 例1 已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点. 直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A O C D P B E 解 ： (1) OAPA , OBPB , OPAB (2) OAP OBP , OCAOCB ACPB
7、CP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 RtOAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm. 名称确定方法图形性质 内 心 （三角形 内切圆的 圆心） 三角形三 边中垂线 的交点 三角形三条 角平分线的 交点 (1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 三角形的内部 BOC=2A （1）到三边的 距离相等； （2）OA、OB 、OC分别平分 BAC、 ABC、 ACB； （3）内心在三 角形内部 BOC=90+1/2 A 外 心 (三角形 外接圆的 圆心) 切线长定理 如图：过O外一点P 有两条直线PA、PB与 O相切. A B P O 在经过圆外一点的圆的切 线上，这点和切点间的线 段的长，叫做切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
