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1、交通大学自主招生测验数学试题8 / 8 作者： 日期：个人收集整理，勿做商业用途2005年交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1已知方程的两根、满足，则=2设，则3已知，且，则4如图，将3个1212的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为5已知，、，则=6化简：7若，且，则8一只蚂蚁沿123立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为94封不同的信放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为，恰好只有一封信装错的概率为10已知等差数列中，则=二、解答题（本大题共50分
2、）1已知方程的三根分别为、，且、是不全为零的有理数，求、的值2是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（1）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由3已知函数的最大值为9，最小值为1，求实数、的值4已知月利率为，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额关于的函数关系式（假设贷款时间为2年）5对于数列：1,3,3,3,5,5,5,5,5，即正奇数有个，是否存在整数、，使得对于任意正整数，都有恒成立（表示不超过的最大整数）？2005年交通大学自主招生考试试题参考答案一、填空题（每题5分，共50分）1【答案】【解答】=，当=时取等
3、号2【答案】或【解答】设，因为，所以由，得，即解得或（舍）所以，解得或3【答案】-2005【解答】，比较得4【答案】864【解答】如图，所得到的多面体相当于将四面体截去三个角、，这三个小四面体都与相似，相似比为，且的三条侧棱两两互相垂直，所以多面体体积为5【答案】【解答】由，得又因为、，且，所以，解得，6【答案】【提示】按的奇偶性分类讨论，或找规律7【答案】【解答】由，得，故或=0又因为，所以当时，上式=25；当=0时，则上式=198【答案】【提示】看侧面展开图（有三种不同情况）9【答案】；0【解答】全装错的概率是；只有一封信装错是不可能事件，概率是010【答案】33【解答】则二、解答题（本大题共50分）1【解答】由韦达定理，得若，则，即或若，由（3）式，得，代入（2），得，而由（1），得，即若有有理根，其中，、，则为偶数，令，代入得，也为偶数，这与矛盾无有理根，综合上述，或2【解答】设三角形三边长为、，它们所对角分别为、（1）由余弦定理，得，若，则代入化简，得，即，该三角形三边长为4、5、6（2）如图，设，则=3=3，过点作交于点，使，为等腰三角形又，也为等腰三角形，整理，得，无正整数满足条件的三角形不存在3【解答】将函数表达式整理，得，由判别式，得依题意，上述不等式解集为经检验，满足题意4【解答】依题意，5【解答】当时，表示第个奇数，取，对任意，有，即存在满足题意得整数、
