二航天器的轨道与轨道力学

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1、2.1航天器轨道的基本定律,2.2二体轨道力学和运动方程,2.3航天器轨道的几何特性,2.5航天器的轨道摄动,第二章 航天器的轨道与轨道力学,2.4航天器的轨道描述,第二章 航天器的轨道与轨道力学,“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 伊萨克和汉纳牛顿之子伊萨克 。虽然没有什么贤人哲士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界的思想和习惯。”,牛顿,2.1 航天器轨道的基本定律,如果说1642

2、年的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定了基础。一个是第谷布拉赫, 他几十年如一日,极为细致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是约翰开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用肩膀托起牛顿的“巨人”。,第谷布拉赫,约翰开普勒,2.1.1 开普勒定律 1第一定律椭圆律 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。 因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，如图21所示。,2第二定律面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫

3、过相等的面积。 在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为 dA/dt=常量,开普勒第二定律,开普勒第二定律,式中， dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫做面积速度。 为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行的路程S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规律，叫做面积速度守恒。,3第三定律周期律 行星绕太阳公转的周

4、期T的平方与椭圆轨道的长半径a的立方成正比。即 a3/T2=K 它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而且周期仅取决于长半径。,图23 开普勒第三定律,图23表示3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都相等，周期也就相同。,2.1.2 牛顿定律 第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状态。 第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作用力的方向相同。 第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的反作用。,万有引力定律： 任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。数学上可以用矢

5、量形式把这一定律表示为,式中， Fg为由于质量引起的作用在质量m上的力矢量；r为从到m的距离矢量。万有引力常数G的值为 G =667010-13 Ncm2g2。,2.2 二体轨道力学和运动方程,2.2.1 N体问题 为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，在该坐标系内，n个质量的位置分别为 .此系统如图2.4所示。,由牛顿万有引力定律得出， 作用在 上的力 为 (2.5) 式中 (2.6)作用在第i个物体上的所有引力的矢量和 为 (2.7),图2.4中所示的其他外力 ，包括阻力、推力、太阳辐射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体上的合力称为 ，其表达式为 (2.8) (2.9)

6、 现在应用牛顿第二运动定律 (2.10),把对时间的导数展开，得到 (2.11) 如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在这种情况下，式(2.11)中的第二项就不等于零。某些与相对论有关的效应也会导致质量 随时间变化。式(2.11)各项除以 ，就得出第 i个物体的一般运动方程为 (2.12),方程式(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这种形式的微分方程是很难求解的。假定第i个物体的质量保持不变（即无动力飞行， =0），同时还假定阻力和其他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方程式(2.12)简化成 (2.13),不失一般性，假定 为一个绕地球运行的航天器， 为地球，而余下

7、的 可以是月球、太阳和其他行星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，得到 (2.14) 对i=2的情况，方程式(2.13)变成 (2.15),根据式(2.6)，有 (2.16) 于是有 (2.17) 将式(214)和(215)代人式(217)得到 (2.18) 因为 ，所以 (2.19),为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航天器和地球间的引力相比有多大。表21 列出了一个高度为370 km的航天器的各相对加速度(不是摄动加速度)，同时还列出了地球的非球形(偏状)造成的影响，以供比较。,分析表21中的数据容易看出，围绕地球运行的航天器受到地球的引力占有主导地位，因此进一

8、步简化运动方程式(219)，简化N体问题是可能和合理的。,表2.1,首先，作两个简化假设： (1)物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集中在其中心。 (2)除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他外力和内力作用。 其次，确定一个惯性坐标系(无加速度的和无转动的坐标系)以便测量物体的运动状态。牛顿描述惯性坐标系时说：此坐标系固定在绝对空间内，“按其本质来说，它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动”。,2.2.2 二体问题和运动方程,考虑质量分别为M和m的两个物体构成的系统，如图25所示。设 为惯性坐标系，OXYZ为原点在质量为M的物体质心上的不转动的，且与 平行的坐标系。物体M和m在坐标

9、系内的位置矢量分别为 和 ，并定义 现在，在惯性坐标系 内可以应用牛顿定律，,得到 即 得 （2.20）,方程式(220)为二体问题相对运动的矢量微分方程。 考虑到实际情况有 为了方便和具有一般性，称M为中心引力体，定义引力参数 。 于是式(220)变为 (221) 此即为二体运动方程。对不同的中心引力体， 的值不同。对于地球， ； 对于太阳，,2.2.3 轨道运动常数 1机械能守恒 用 与式(221)作点乘，且 , ,得到 因为由矢量运算法则 ，故 并且注意到 和,故 更具一般性地，上式可以写为 式中，c为任意常数。由此，下式定义的量必为常数： 称为比机械能。,于是，可以得出结论：当卫星沿着

10、轨道运行时，卫星的比机械能 (即单位质量的动能和单位质量的势能之和)既不增加，也不减少，而是保持常值。 的表达式为 (223),2角动量守恒 用 叉乘式(221)，得到 因为 总是成立，故上式左边第二项为零，得 注意到 所以有 或 矢量 必定为一运动常数，简记为 ，称作比角动量。至此已经证明了航天器的比角动量 沿着其轨道为一常数， 的表达式为,(224) 因为 为 和 的矢量叉积，因此，它必定与包含 和 的平面正交。但 为一恒定矢量，所以 和 必定总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制 于一个在空间固定的平面内，称为轨道平面。轨道平面 具有定向性。,2.3.1 轨道的几何方程 将方程

11、式(221)两边同时与h叉乘，有 (226) 考虑到h守恒和矢量运算规则 及 , 所以,2.3 航天器轨道的几何特性,于是，可以将式(226)改写为 两边积分得 这里B是积分常矢量。用r点乘该式就得到标量方程,显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上，极角v为r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间的夹角，常数p称为“半正焦弦”，常数e称为“偏心率”，它确定了方程式(228)表示的圆锥曲线的类型，如图27所示。,(1)圆锥曲线族(圆、椭圆、抛物线、双曲线)为二体问题中的航天器惟一可能的运动轨道。 (2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个

12、焦点。 (3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能(单位质量的动能和势能之和)保持不变。 (4)航天器绕中心引力体运动，当r和v沿轨道变化时，比角动量h保持不变。 (5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。,至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：,航天器的轨道,第一宇宙速度 第二宇宙速度,2.3.2 轨道的几何性质 1圆锥曲线轨道的几何参数 圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线4种类型的轨道。图28给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几何参数和关系。,图28 圆锥曲线共同的几何参数,除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率 (229) 和 (230),2轨道的近拱点和远拱点 轨道

13、长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为近拱点，离主焦点远的称为远拱点。 主焦点至近拱点或远拱点(若存在的话)的距离，只须在极坐标圆锥曲线的一般方程式(228)中以v=0o或v=180o代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有 近拱点 远拱点 将式(230)代人上两式即得,(2.31) (2.32) 另外，在任何圆锥曲线轨道的近拱点或远拱点(若存在)处，总有 所以作为方程式 (225)的一个特殊情况，可以写出 (2.33) 式中 , ,分别为两个拱点的速度,3轨道形状与比机械能 对近拱点写出航天器的能量方程式(223)，并将式(233)代人其中，得 根据方程式(230)和 有 因此 由此得 (234

14、),对所有圆锥曲线轨道均成立的这个简单的关系式表明，轨道的长半轴a仅与航天器的比机械能 有关。进一步说， 仅与轨道上任一点的r和v有关，即 圆和椭圆轨道：aO， 航天器的比机械能 0。 因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。,进一步地，由于 以及式(2.30)和(2.34)成立，因此对任何圆锥曲线轨道均有 (235) 可见，h单独决定了p，而 单独决定了a，它们共同决定了e，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到 且对于一般航天器而言，rO，vO，所以航迹角 (0 180o)的取值决定了h的符号。 当 90o时，即hO时， 若 0，则e1，为双曲线轨道。,

15、当 =90o，即h=O时，无论 取值如何，e=1。此时，航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。,2.3.3 椭圆轨道 太阳系所有行星的轨道和所有围绕天体运动的航天器的轨道都是封闭曲线椭圆。首先考察一下仅对椭圆轨道适用的几何特性，然后再推导航天器沿椭圆轨道运动的周期和速度。 图2.9显示了椭圆可用两根大头针和一个棉线圈画出的方法，以及椭圆轨道参数之间的关系。,观察可知，椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和恒满足 并且椭圆轨道近拱点半径 和远拱点半径 与椭圆的几何参数之间有如下关系： (236) (237) 可得 (238) 若将椭圆的短半轴记作b，则有 (239),接着考察椭圆轨道周期。 由图2.10可以看到，航天器速度的水平分量为 ，也可以写成 ，根据方程式(225)，可将航天器的比角动