《12讲三重积分及其计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12讲三重积分及其计算（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 多元函数积分学 正确理解三重积分的概念。 熟悉直角坐标系下三重积分的计算方法。 熟悉三重积分的换元法。 熟悉柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算。 能运用三重积分求解简单的应用问题。 本节教学要求： 第二节 三重积分 第三节 三重积分 一. 三重积分的定义 二. 三重积分的性质 四. 三重积分的换元法 三. 三重积分的计算（直角坐标系） 五. 三重积分的简单应用 1. 非均匀分布立体的质量 设有空间立体, 当的质量是均匀分布 时, 则的质量M= 的体密度 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述 方式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密 度 (x , y , z
2、)连续, 求的质量 M. 一、三重积分的概念及性质 (i) 将分成 n 个小立体 1, 2, n , 记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, , n. 由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在 i 上 (x , y , z) 的变化不大. 可近似 看作不变. (ii) 取 ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作为 i 的体密度. 从而, i的质量 mi ( i , i , i) V i (iii) 因此, 的质量 (iv) 2. 三重积分的定义 三重积分定义的几点说明 3. 三重积分的性质 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 性质 5
3、 性质 6 性质 5 解 例 二. 直角坐标系下三重积分的计算 或其它坐标面上 解 例 例 解 例 解 三重积分也可化为一个二重积分和一个定积分 :(x, y)D(z), z1zz2 0 x z y z2 z z2 D(z) 计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 解：D(z): x2+y2z z0, 1 例 计算 z x y 0 1 1 1 其中 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 例 D(x): 0 y 1x, 解： x : 0 x 1， 0 z 1xy. 三. 三重积分的换元法 雅可比行列式的绝对值 ! ? 例 解 例 解 例 解 用球面坐标计算 其中 画 图。 确定 r， ， 的上下限。 (1) 将 向 xoy 面投影，得 (2) 任取一过 z 轴作半平面，得 (3) 在半平面上，任取一过原点作 射线，得 例 解 (3) 在半平面上，任取一过原点作 射线，得 即 计算其中 由曲面 和 围成。 将 向 xoy 面投影，得 任取一 过 z 在半平面上，任取一 过原点作射线，得 轴作半平面，得 解 例 即 在半平面上，任取一 过原点作射线，得 例 解 例 解
