(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第二节 二项式定理讲义(含解析)

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1、第二节二项式定理突破点一二项式的通项公式及应用1二项式定理二项展开式公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二项式定理二项式的通项Tk1Cankbk为展开式的第k1项2.二项式系数与项的系数二项式系数二项展开式中各项的系数C(r0,1,n)叫做第r1项的二项式系数项的系数项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与二项式系数是两个不同的概念如(abx)n的展开式中,第r1项的系数是Canrbr一、判断题(对的打“”,错的打“”)(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)在(ab)n的展开式中,每一项的二项式系数与a,b无关()(3)(ab)n展开式中某项

2、的系数与该项的二项式系数相同()答案:(1)(2)(3)二、填空题1.10的展开式中x2的系数等于_答案:452在6的展开式中,常数项为_答案:2403.8的展开式中的有理项共有_项答案:3考法一形如(ab)n的展开式问题例1(1)(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10B20C40 D80(2)(2019陕西黄陵中学月考)6的展开式中常数项为()A. B160C D160解析(1)5的展开式的通项公式为Tr1C(x2)5rrC2rx103r,令103r4,得r2.故展开式中x4的系数为C2240.(2)6的展开式的通项Tr1Cx6rrrCx62r,令62r0,得r3,所以展开式中

3、的常数项是T43C,选A.答案(1)C(2)A方法技巧二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第k1项,再由特定项的特点求出k值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k1项,由特定项得出k值,最后求出其参数考法二形如(ab)n(cd)m的展开式问题例2(1)(2018广东一模)(12x)5的展开式中,x3的系数为()A120 B160C100 D80(2)(2019陕西两校联考)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84C112 D168解析(1)(12x)5x(12x)5(12x)5,x(12x

4、)5的展开式中含x3的项为xC(2x)240x3,(12x)5的展开式中含x3的项为C(2x)480x3,x3的系数为4080120.故选A.(2)根据(1x)8和(1y)4的展开式的通项公式可得,x2y2的系数为CC168.故选D.答案(1)A(2)D方法技巧求解形如(ab)n(cd)m的展开式问题的思路(1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(ab)2(cd)m(a22abb2)(cd)m,然后展开分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并,如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab)n,(cd)m的通项公式,综合考虑考

5、法三形如(abc)n的展开式问题例3(1)(2019枣阳模拟)(x2xy)5的展开式中x5y2的系数为()A10B20C30 D60(2)(2019太原模拟)5的展开式中常数项是_解析(1)(x2xy)5的展开式的通项为Tr1C(x2x)5ryr,令r2,则T3C(x2x)3y2,又(x2x)3的展开式的通项为C(x2)3kxkCx6k,令6k5,则k1,所以(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为CC30,故选C.(2)由55,则其通项公式为(1)5rCr(0r5),其中r的通项公式为2rtCxr2t(0tr)令r2t0,得或或所以5的展开式中的常数项为(1)5C(1)3C2C(1)1C2

6、2C 161.答案(1)C(2)161三项展开式问题的破解技巧破解(abc)n的展开式的特定项的系数题,常用如下技巧:若三项能用完全平方公式,那当然比较简单;若三项不能用完全平方公式,只需根据题目特点,把“三项”当成“两项”看,再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数 1.()100的展开式中,无理数项的个数是()A84 B85C86 D87解析:选A()100展开式的通项为Tr1C()100r()rC2503,r0,1,2,100,所以当r是6的倍数时,Tr1为有理项,所以r0,6,12,96,共17项,因为展开式共有101项,所以展开式中无理项的个数是1011784.故选A.2.(x22

7、)5的展开式中x1的系数为()A60 B50C40 D20解析:选A由通项公式得展开式中x1的系数为23C22C60.3.(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()A80 B40C40 D80解析:选D(2xy)6的展开式的通项公式为Tr1C(2x)6r(y)r,当r2时,T3240x4y2,当r3时,T4160x3y3,故x4y3的系数为24016080,故选D.4.在6的展开式中,含x5项的系数为()A6 B6C24 D24解析:选B由6C6C5C4CC,可知只有C5的展开式中含有x5,所以6的展开式中含x5项的系数为CC6,故选B.突破点二二项式系数性质及应用二项式系数的性质一、

8、判断题(对的打“”,错的打“”)(1)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项()(2)在(1x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项()(3)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0,则a7a6a1的值为128.()答案:(1)(2)(3)二、填空题1若n的展开式中的所有二项式系数之和为512,则该展开式中常数项为_答案:842已知m是常数,若(mx1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0且a1a2a3a4a533,则m_.答案:33若(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0,则a1a2a3a4a5_.答案:2考法一二项展开式中系数和的问题赋值法在求各项系

9、数和中的应用(1)形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为a0a2a4,偶数项系数之和为a1a3a5.例1(1)(2019郑州一中月考)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为()A1B1C27 D27(2)(2019襄阳四中月考)设(x21)(2x1)8a0a1(x2)a2(x2)2a10(x2)10,则a0a1a

10、2a10的值为_解析(1)依题意得2n8,解得n3,取x1,得该二项展开式每一项的系数之和为(12)31.故选A.(2)在所给的多项式中,令x1可得(11)(21)8a0a1a2a10,即a0a1a2a102.答案(1)A(2)2易错提醒(1)利用赋值法求解时,注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号);(2)在求各项的系数的绝对值的和时,首先要判断各项系数的符号,然后将绝对值去掉,再进行赋值考法二二项式系数或展开式系数的最值问题求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步,要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个第二步,若是求二项式系数的最大值,

11、则依据(ab)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解例2(1)(2019内蒙古鄂尔多斯模拟)在5的展开式中,x3的系数等于5,则该展开式的各项的系数中最大值为()A5 B10C15 D20(2)(2019福州高三期末)设n为正整数,n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为_解析(1)5的展开式的通项Tr1Cx5rr(a)rCx52r,令52r3,则r1,所以a55,即a1,展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1,3,5项的系数为正数,故各项的系数中最大值为C10,选B.(2)依题意得,n8,所以展开式的通项Tr1Cx8rrCx84r(2)r,令84r0,解得r2,所以展开式中

12、的常数项为T3C(2)2112.答案(1)B(2)112方法技巧求展开式系数最值的2个思路思路一由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看作关于n的数列,通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性,并根据系数的单调性求出系数的最值思路二由于展开式系数是离散型变量,因此在系数均为正值的前提下,求最大值只需解不等式组即可求得答案1.设(1x)na0a1xanxn,若a1a2an63,则展开式中系数最大的项是()A15x3B20x3C21x3 D35x3解析:选B在(1x)na0a1xanxn中,令x1得2na0a1a2an;令x0,得1a0,a1a2an2n163,n6.而(1x)6的展开式中系数最大的项为T4Cx320x3.2.(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_.解析:设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1,得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1,得0a0a1a2a3a4a5.得16(a1)2(a1a3a5)232,a3.答案:33.设(5x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若MN240,则展开式中二项式系数最大的项为_解析:依题意得,M4n(2n

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