运筹学——第9章_目标规划

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1、管 理 运 筹 学 1 第九章 目标规划 1 目标规划问题举例 2 目标规划的图解法 3 复杂情况下的目标规划 4 加权目标规划 管 理 运 筹 学 2 1 目标规划问题举例 例1企业生产 不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。 但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须 考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利 润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形 象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展 。 例2商务活动 企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某 一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出

2、的一部分。因 此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策 问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。 管 理 运 筹 学 3 1 目标规划问题举例 例3投资 企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险 大的投资其收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风 险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。 例4裁员 同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首 要目的是压缩人员开支，但在人人自危的同时员工的忠诚度就很 难保证，此外，员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产 生负面影响。 例5营销 营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影

3、的 效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。此外，营销活动 的深入程度也决定了营销效果的好坏和持续时间。 管 理 运 筹 学 4 2 目标规划的图解法 例6一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为90000元，目前可 选的股票有A和B两种（可以同时投资于两种股票）。其价格以及年收 益率和风险系数如表1： 从上表可知，A股票的收益率为（320）10015，股票B 的收益率为4501008，A的收益率比B大，但同时A的风险也 比B大。这也符合高风险高收益的规律。 试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于700，且投资收 益不低于10000元。 股票价格（元）年收益（元）年风险系数 A20

4、30.5 B5040.2 管 理 运 筹 学 5 2 目标规划的图解法 显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是 限制风险，一是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的 优先权。 假设第一个目标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确 保收益）大，这意味着求解过程中必须首先满足第一个目标，然 后在此基础上再尽量满足第二个目标。 建立模型： 设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x150x290000。 管 理 运 筹 学 6 2 目标规划的图解法 一、约束条件 再来考虑风险约束：总风险不能超过700。

5、投资的总风险为 0.5x10.2x2。引入两个变量d1+和d1-,建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1- 其中，d1+表示总风险高于700的部分，d1-表示总风险少于700的 部分，d1+0。 目标规划中把d1+、d1-这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作 用是允许约束条件不被精确满足。 管 理 运 筹 学 7 2 目标规划的图解法 把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1+d1-=700。 再来考虑年收入: 年收入=3x1+4x2 引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000的数量。 于是，第2个目标可以表示为 3x1+4x2-d2+d2-=

6、10000。 管 理 运 筹 学 8 2 目标规划的图解法 二、有优先权的目标函数 本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的 目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1, 分配给第二个目标较低的优先权P2。 针对 每一个优先权，应当建立一个单一目标的线性规划模 型。首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解； 然后再按照优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规 划模型，方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来 模型求解所得的目标最优值 作为一个新的约束条件加入到当前 模型中，并求解。 管 理 运 筹 学 9 2 目标规划的图解法 三、图解法 1针对

7、优先权最高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下： Min d1+ s.t. 20x150x290000 0.5x1 +0.2x2-d1+d1-=700 3x1+4x2-d2+d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-0 管 理 运 筹 学 10 2 目标规划的图解法 图2 图解法步骤2 010002000300040005000 2000 3000 4000 x1 x2 20x150x290000 1000 0.5x1 +0.2x2=700 管 理 运 筹 学 11 2 目标规划的图解法 2针对优先权次高的目标建立线性规划 优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划

8、如下： Min d2- s.t. 20x150x290000 0.5x1 +0.2x2-d1+d1-=700 3x1+4x2-d2+d2-=10000 d1+0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-0 管 理 运 筹 学 12 2 目标规划的图解法 3x1+4x2=10000 图3 图解法步骤3 010002000300040005000 2000 3000 4000 x1 x2 20x150x290000 1000 0.5x1 +0.2x2=700 d1+0 d1+0 d2-=0 d2-0 (810,1476) 管 理 运 筹 学 13 2 目标规划的图解法 目标规划的这种求解方法可以

9、表述如下： 1确定解的可行区域。 2对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标的解， 则寻找最接近该目标的解。 3对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先权高的 目标不变。 4. 重复第3步，直至所有优先权的目标求解完。 管 理 运 筹 学 14 2 目标规划的图解法 四、目标规划模型的标准化 例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下： Min P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x150x290000 0.5x1 +0.2x2-d1+d1-=700 3x1+4x2-d2+d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d

10、2+,d2-0 管 理 运 筹 学 练习1：用图解法求解下列目标规划问题 MinZ= P1（d1-+d1+）+P2（d2-）+P3（d3+） s.t. x1x2 +d1-d1+ =10 3x1 +4x2 +d2-d2+ =50 8x1+10x2+d3- -d3+=300 x1,x2,di+,di-0 (i=1,2,3) 15 管 理 运 筹 学 16 3 复杂情况下的目标规划 例7一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产 品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A 、B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用 人力资源，确定生产的首要任务是保证

11、人员高负荷生产，要求每 周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极 限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的 前提下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不 低于200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最 低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的2倍。 试求如何安排生产？ 管 理 运 筹 学 17 3 复杂情况下的目标规划 解： 本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1、P2、P3表示 从高至低的优先权。 对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工时, 也不能超过680工时； 对应P2有一个目标：每周的利

12、润超过70000元； 对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和 120件。 管 理 运 筹 学 18 3 复杂情况下的目标规划 采用简化模式，最终得到目标线性规划如下： Min P1(d1+)+ P1(d2)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-) s.t. 2x1+3x2-d1+d1-=680 对应第1个目标 2x1+3x2-d2+d2-=600 对应第2个目标 250x1+125x2-d3+ +d3-70000 对应第3个目标 x1-d4+d4-=200 对应第4个目标 x2-d5+d5-=120 对应第5个目标 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,

13、d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-0 管 理 运 筹 学 19 3 复杂情况下的目标规划 使用运筹学软件求解可得： x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0； d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目标函数d4-+2d5- =120。 可见，目标1、目标3和目标4达到了，但目标2、目标5都有 一些偏差。 管 理 运 筹 学 练习2：某公司为提高销售收入，准备开展三个广告活动， 其中，前两个广告分别针对产品1和产品2，第三个广告为 提高整个公司知名度。三广告资金分别为x1，X2，x3元，预 计广告投放后市场份额为

14、： 产品1年销售收入增长额= x1+0.2x3 产品2 年销售收入增长额= 0.8x2+0.5x3 公司广告预算总费用为3000万元。 公司按优先级顺序制定以下目标： 1：产品1的年销售收入增长额不低于2000万元； 2：投入第三个广告的资金不低于1000万元； 3：产品2的年销售收入增长额不低于1500万元. 试问该公司该如何分配广告资金。（只要求建立模型） 20 管 理 运 筹 学 练习3： 例一：某工厂生产A、B、C三种化肥，每吨 加工工时为6小时、8小时和10小时，化工厂 每月工时为200小时， A、B、C每吨利润为 400元、700元和800元，每月销售量为11、 10、5吨。该厂经

15、营目标为： 首先：每月利润不低于1.5万； 其次：要充分利用生产能力； 最后：产量以销售量为标准。 试制定生产计划。（只要求建立模型） 21 管 理 运 筹 学 22 4 加权目标规划 加权目标规划是另一种解决多目标决策问题的方法，其基 本方法是通过量化的方法分配给每个目标的偏离的严重程 度一个罚数权重，然后建立总的目标函数，该目标函数表 示的目标是要使每个目标函数与各自目标的加权偏差之和 最小，假设所有单个的目标函数及约束条件都符合线性规 划的要求，那么，整个问题都可以描述为一个线性规划的 问题。 如果在例7中我们对每周总耗费的人力资源超过680工时或 低于600工时的每工时罚数权重定为7；

16、每周利润低于70000 元时，每元的罚数权重为5；每周产品A产量低于200件时每 件罚数权重为2，而每周产品B产量低于120件时每件罚数权 重为4。 管 理 运 筹 学 23 4 加权目标规划 则其目标函数化为： min7d1+7d2-+5d3-+2d4-+4d5- 这就变成了一个普通的单一目标的线性规划问题 min7d1+7d2-+5d3-+2d4-+4d5- s.t. 2x1+3x2-d1+d1-=680 2x1+3x2-d2-+d2+=680 250x1+125x2-d3-+d3+=70000 x1-d4+d4-=200 x2-d5+d5-=120 x1,x2,d1+,d1-,d2-,d2+, d3+,d3-,d4+,d4-