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1、(四)函数与导数(2)1(2018江西省重点中学协作体联考)已知f(x)ex，g(x)x2ax2xsin x1.(1)证明：1xex(x0,1)；(2)若x0,1)时，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(1)证明设h(x)ex1x，则h(x)ex1，故h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增从而h(x)h(0)0，即ex1x.而当x0,1)时，ex1x，即ex.(2)解设F(x)f(x)g(x)ex(x2ax2xsin x1)，则F(0)0，F(x)ex(2xa2xcos x2sin x)要求F(x)0在0,1)上恒成立，必须有F(0)0.即a1.以下证明：当a1时，f(x)
2、g(x)只要证1xx2x2xsin x1，只要证2sin xx在0,1)上恒成立令(x)2sin xx，则(x)2cos x10对x0,1)恒成立，又(0)0，所以2sin xx，从而不等式得证2(2018宿州质检)设函数f(x)xaxln x(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的极大值点为x1，证明：f(x)exx2.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1aln xa，当a0时，f(x)x，则函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x.所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a0得0x，由f(x)，所以函数f
3、(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)证明由(1)知a0)，则F(x)1 .令g(x)xex，得函数g(x)在区间(0，)上单调递增而g(1)10，g(0)10，所以在区间(0，)上存在唯一的实数x0，使得g(x0)x00，即x0，且x(0，x0)时，g(x)0.故F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增F(x)minF(x0)ln x0 x01.又x0，F(x)minln x0x01 x01x010
4、.F(x)F(x0)0成立，即f(x)exx2成立3(2018皖江八校联考)已知函数f(x).(1)若a0，函数f(x)的极大值为，求实数a的值；(2)若对任意的a0，f(x)在x0，)上恒成立，求实数b的取值范围解(1)由题意，f(x)(2ax1)ex(ax2xa)exexax2(12a)xa1 ex(x1)(ax1a)当a0时，f(x)ex(x1)，令f(x)0，得x1；令f(x)1，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，不合题意当a0时，10，得1x1；令f(x)0，得x1，所以f(x)在上单调递增，在，(1，)上单调递减所以f(x)的极大
5、值为f(1)，得a2.综上所述a2.(2)令g(a)，a(，0，当x0，)时，0，则g(a)对a(，0恒成立等价于g(a)g(0)，即bln(x1)对x0，)恒成立当b0时，显然bln(x1)在0，)上不恒成立当b0时，x(0，)，bln(x1)0，此时bln(x1)，不合题意当b0时，令h(x)bln(x1)，x0，)，则h(x)(exxex)，其中(x1)ex0，x0，)，令p(x)bexx21，x0，)，则p(x)在区间0，)上单调递增，b1时，p(x)p(0)b10，所以对x0，)，h(x)0，从而h(x)在0，)上单调递增，所以对任意x0，)，h(x)h(0)0，即不等式bln(x1
6、)xex在0，)上恒成立0b1时，由p(0)b10及p(x)在区间0，)上单调递增，所以存在唯一的x0(0,1)，使得p(x0)0，且x(0，x0)时，p(x)0.从而x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)在区间(0，x0)上单调递减，则x(0，x0)时，h(x)h(0)0，即bln(x1)0.(1)解f(x)ln xax.令xt，x(t0)令h(t)ln tat，则函数yh(t)与yf(x)的零点个数情况一致h(t)a.()当a0时，h(t)0，h(t)在(0，)上单调递增又h(1)a0，aaeaaa0时，h(t)在上单调递增，在上单调递减h(t)maxhln1.当ln时，h1即0a0，
7、又e1，h(1)a0.又(1e)0，(a)在上单调递增，(a)2e0，此时有两个零点综上，当a0或a时，有1个零点；当0a时，无零点(2)要证g(x)f(x)ax20，只需证2(2x)e.令m(0,1)，只需证22.令t(m)，t(m)0，t(m)在(0,1)上单调递增，t(m)t(1)0，20.5(2018洛阳模拟)已知函数f(x)(x1)exx2，其中tR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当t3时，证明：不等式f(x1x2)f(x1x2)2x2恒成立(其中x1R，x20)(1)解由于f(x)xextxx(ext)()当t0时，ext0，当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，当x0时
8、，f(x)0时，由f(x)0得x0或xln t.当0t1时，ln t0时，f(x)0，f(x)单调递增，当ln tx0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增；当t1时，f(x)0，f(x)单调递增；当t1时，ln t0.当xln t时，f(x)0，f(x)单调递增，当0xln t时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增综上，当t0时，f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数；当0t1时，f(x)在(，0)，(ln t，)上是增函数，在(0，ln t)上是减函数(2)证明依题意f(x1x2)f(x1x2)(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1
9、x2)f(x1x2)(x1x2)恒成立设g(x)f(x)x，则上式等价于g(x1x2)g(x1x2)，要证明g(x1x2)g(x1x2)对任意x1R，x2(0，)恒成立，即证明g(x)(x1)exx2x在R上单调递增，又g(x)xex3x1，只需证明xex3x10即可令h(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，h(x)minh(0)0，即xR，exx1，那么，当x0时，xexx2x，xex3x1 x22x1(x1)20；当x0时，ex0，xex3x10恒成立从而原不等式成立任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低7
