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1、第一篇：向量法证明不等式 向量法证明不等式 高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况. 设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，xn)，b=(y1，y2，yn)(xi，yir，i=1，n) 规定ab=(x1，x2，xn)(y1，y2，yn)=x1y1+x2y2+xnyn=xiyi. (注：ab可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有 由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而
2、构造n维向量来证明其他不等式. 一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即 例1设a，b，cr+，求证：(a+b+c)+. 证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)， 则由 综上，原不等式成立. 点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边. 作单位向量jac j(ac+cb)=jab jac+jcb=jab jcb=jab |cb|cos(/2-c)=|ab|cos(/2-a) 即|cb|sinc=|ab|sina a/sina=c/sinc 其余边同理 在三角形abc平面上做一单位向量i,ibc,因为ba+ac+cb=0恒
3、成立，两边乘以i得i*ba+i*ac=0根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc 步骤1 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(c-90)+b0+ccos(90-a) =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他
4、步骤2. 在锐角abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步骤3. 证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d.连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 第二篇：用向量可以证明不等式 运用向量可以证明不等式 向量一章中有两处涉及到不等式，其
5、一， ?a?a+?b?a?b或-?b?a?b；其二，?a?b?a?b。前者的几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，后者是数量积的性质，这两个结论用于证明不等式，可以使证明思路清晰明快，过程简单明了之功效。 ? 一、利用a-b?a?b证明不等式 例1 、函数f(x)?，a?b，求证： f(a)?f(b)?a?b 解析：f(a)?f(b)?a?b 即?a?b ? 构造两个向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可?以理解为两个向量的模的差a?b，那么a?b表示向量?c?(0,a?b)的模，其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ? 因此，原不等式等价于证明a?b?
6、a?b，其中a?b，向量 ?a和b不可能同向，不取等号。 ? 二 利用a?b?ab证明不等式 2222例2 、已知实数mnxy满足m?n?a,x?y?b （a?b），求mx?ny得最大值 ?解析：构造向量a?(m,n),b?(x,y)， 则a? ?a?b?mx?ny?，因为a?b?ab，所以mx?ny ? ?my ?nx取最大值。 ?例3、已知a?b? 1,解析： 构造向 量?a?b?1m?，n? 12?2 ?n?(1,1),m?，。 ? 。m?n?因为m?n? m?n 所以， ?n?n?2。 第三篇：用向量法证明 用向量法证明 步骤1 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca
7、为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =ia+ib+ic =acos(180-(c-90)+b0+ccos(90-a) =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步骤3. 证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d.连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为
8、同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助! 2 设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形 则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c 平方(1) 向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d 平方(2) (1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方 c平方=1/2(a+b)-d平方 am2=1/2(ab2+ac2)-bm2 3 已知ef是梯形abcd的中位线，且ad/bc，用向
9、量法证明梯形的中位线定理 过a做agdc交ef于p点 由三角形中位线定理有： 向量ep=½向量bg 又adpfgc且agdc向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质) 向量pf=½(向量ad+向量gc) 向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc) 向量ef=½(向量ad+向量bc) efadbc且ef=(ad+bc) 得证 4 先假设两条中线ad,be交与p点 连接cp,取ab中点f连接pf pa+pc=2pe=bp pb+pc=2pd=ap pa+pb=2pf 三式相加 2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf 3pa
10、+3pb+2pc=2pf 6pf+2pc=2pf pc=-2pf 所以pc,pf共线，pf就是中线 所以abc的三条中线交于一点p 连接od,oe,of oa+ob=2of oc+ob=2od oc+oc=2oe 三式相加 oa+ob+oc=od+oe+of od=op+pd oe=op+pe of=op+pf oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp 由第一问结论 2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp 2pa+2pb+2pc=0 1/2ap+1/2bp+1/2cp 所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op 向量op=1/3(向量
11、oa+向量ob+oc向量) 第四篇：构造法证明不等式 构造法证明不等式 由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用. 一、构造一次函数法证明不等式 有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明. 例1设0a、b、c2，求证：4a+b+c+abc2ab+2bc+2ca. 证明：视a为自变量，构造一次函数 =4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)， 由0a2，知表示一条线段.又=b+c-2bc=(b-
12、c)0， =b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)0， 可见上述线段在横轴及其上方，0，即4a+b+c+abc2ab+2bc+2ca. 二、构造二次函数法证明不等式 对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明. 例2实数a、b、c满足(a+c)(a+b+c)<0，求证：(b-c)>4a(a+b+c). 证明：由已知得a=0时，bc，否则与(a+c)(a+b+c)<0矛盾， 故a=0时，(b-c)>4a(a+b+c)成立. 当a0时，构造二次函数=ax+(b-c)x+(a+b+c)，则有 =a+b+c，=2(a+c)，而=2(a+c)(a+b+c)<0， 存在m，当-1 第五篇：不等式的证明(一)(比较法)测试 不等式的证明（一）（比较法） 点击要点 1作差比较法证明不等式的步骤是：、变形是手段，判断差的符号才是目的常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等有时把差变形为常数，
