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1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 5.2 5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律 5.4 5.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 测量实践中可以发现，测量 结果不可避免的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值 不相同。 2、 观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0 5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述 BMA 12 3 一、测量误差的来源测量误差的来源 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 1. 仪器误差 2.
2、 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。 二、 测量误差的分类测量误差的分类 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上， 呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 1、系统误差 误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 例例 ：钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 消除和削弱的方法消除和削弱的方法: : （1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削
3、弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量 作一系列的观测，如果观测结果的差异在 正负号及数值上，都没有表现出一致的倾 向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶 然误差。 2、偶然误差 偶然误差的特性 真误差 观测值与理论值之差 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消； （对称性） 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性） （抵偿性） 误差处理的原则：误差处理的原则： 1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测
4、。 2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。 3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。 返回 精度：又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，各观测值之间的离散 程度。 评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差 5.2 5.2 衡量精度的指标衡量精度的指标 一、 中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X） 进行n次独立观测，观测值l1， l2， ln，偶然误差（真误差）1，2， n，则中误差m的定义为： 式中 式中： 例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。 解：第一组观测值的中误差： 第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度
5、。 说明：中误差越小，观测精度越高 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观 测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。这个限值就是容许（极限）误 差。 二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差； 即容=2m 或容=3m 。 极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。 偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占 总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只 有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中 误差的没有出现。 中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为
6、相对（中）误差。即: 三、 相对误差 一般情况一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。 例 已知：D1=100m, m1=0.01m， D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2 解： 返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数 中误差的关系的定律。 函数形式 倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数 5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律 一、 线性函数的误差传播定律 设线性函数为： 式中 为独立的直接观测值， 为常数， 相应的 观测值的中误差为 。 设非线性函数的一般式为： 式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”
7、替代“d”， 得 二、二、 一般函数一般函数 式中： 是函数F对 的偏导 数，当函数式与观测值确定后，它们均为常 数，因此上式是线性函数，其中误差为： 误差传播定律的一般形式 例已知：测量斜边D=50.000.05m，测 得倾角=15000030求：水平距 离D 解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与 观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 求观测值函数中误差的步骤： 三、 运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值
8、。 误差传播定的几个主要公式：误差传播定的几个主要公式： 函数名称函数式函数的中误差 倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数 返回 设在相同的观测条件下对未知量观测了n 次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真 值）L 为： 一、 求最或是值 L 5.4 5.4 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差 公式为 （i=1，2，n） 将上式相加得 或 故 推导过程： 由偶然误差第四特性知道，当观测次数 无限增多时， 即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 因为 式中，1n为常数。由于各独立观测 值的精度相同，设其中误差均为m。 设平均值的中误差为mL，则有 二、 算术平均值中误差mL 由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 倍。 故 三、精度评定 第一公式 第二公式 （白塞尔公式） 条件：观测值真值 x已知 条件：观测值真值 x 未知， 算术平均值L已知 其中 观测值改正数， 例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。 算术平均值L中误差是： 返回
