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1、第一篇 力学 第1章 质点运动与牛顿定律1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m)，再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求：（1）全过程的位移和路程；（2）整个过程的平均速度和平均速率。分析：从位移的概念出发，先用分量之差表示出每段位移，再通过矢量求和而求出全过程的位移，进而由路程、平均速度和平均速率的概念求出路程、平均速度和平均速率。习题1-9图解解： （1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为：其大小为：全过程位移的方向为：即方向向东偏北（2）平均速度 其大小为： 平均速度的方向沿东偏北平均速率 图1-30 习题
2、1-10图解1-10 一质点P沿半径的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为，设时，质点位于O点。按如图所示的坐标系，求：(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。分析：只要找出在任意时刻质点P点的坐标、，（通过辅助坐标系而找出）就能表示出质点P在任意时刻的位矢，进而由对时间求导求出速度和加速度。解：如图所示，在坐标系中，因，则质点P的参数方程为： 坐标变换后，在坐标系中有：习题1-10图解 ，则质点P的位矢方程为： 5s时的速度和加速度分别为 ： 1-11 已知一质点的运动方程为(单位为SI制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)
3、物体运动的类型。分析：可由位矢对时间求导求得速度、再由速度对时间求导求得加速度。物体运动的类型，从的正负判断运动方向，以时刻为物体加速或减速的分界线方面加以判断。解： 由 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为：； （1）第2秒内的平均速度 (2)第3秒末的速度 ，与运动方向相反。(3)第一秒末的加速度 （4）令，得 时x达到极值,从此时开始质点将改变运动方向。令，得 ，这是个拐点，在此时刻之前，质点作加速运动，在此时刻之后，质点作减速运动。1-12质点的运动方程为，求当=2(s)时，质点的速度和加速度。分析：已知，可由位矢与速度、加速度的关系、 求出速度和加速度。解：质点在任意时刻的速度为：
4、则 ，当t=2(s)时，质点的速度大小为：方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 质点在任意时刻的加速度为：则 ，当t=2(s)时，质点的加速度大小为： 方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-13已知质点的运动方程为式中，为常量，试问质点作什么运动？其速度和加速度为多少？ 分析：可由运动方程消去参数t，得质点轨迹方程。而由位矢与速度、加速度的关系求出速度、加速度。解：由已知坐标分量式 ，可知：将上面两式相加 ，此即质点作匀速率圆周运动，其速度分量式为： ，大小：方向：以表示速度与x轴间的夹角，则：其加速度分量式为：，大小：方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则：1-14物体沿直线运动，其速度为(
5、单位为SI制)。如果=2()时，=4()，求此时物体的加速度以及=3()时物体的位置。分析：可通过对时间求导求出加速度。 通过对时间积分求出位置矢量。解： 由可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为： 上式变形后再两边积分为： 当t=2()时，物体的加速度为： 当t=3()时物体的位置为：1-15已知一质点由静止出发，其加速度在轴和轴上分别为，（a的单位为SI制），试求=5(s)时，质点的速度和位置。分析：可先由加速度各分量积分求出速度相应分量，再由速度分量求出速度大小、方向。同理由速度积分求出位矢。解： 由， 可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为：，变形后再两边积分为： ，变形后再
6、两边积分为： 当t=5(s)时质点的速度为：速度的大小：方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 ，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时，质点的位置为：位置的大小：方向：以表示位置与x轴间的夹角，则 1-16路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速行走，试求人影顶端移动的速度。分析：由题知，在任意时刻，灯、人顶部、人影顶点三点应在一条线上，明确在图中人影顶点移动的速度为，而人移动的速度为=，只要找出x与b几何关系，通过求导就能找出与的联系。解： 由于 故可得：两边微分： 习题1-16图解66变形上式可得：所以人影顶端移动的速度为：由 可得：1-17 一质点作半径为=1
7、0(m)的圆周运动,其角坐标可用（单位为SI制）表示，试问：（1）=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当角等于多少时，其总加速度与半径成？分析：由角坐标对时间求导可得，由角速度对时间求导可得角加速度，进而可求出法向加速度和切向加速度。而总加速度与半径成，说明与大小相等，由此解出t，从而求出。解： （1）由于，则角速度，在时，法向加速度和切向加速度的数值分别为：当总加速度与半径成时，此时应有：即： 于是 1-18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即(SI制),式中k为常数。已知质点在第2(s)末的线速度为32，试求=0.5
8、(s)时质点的线速度与加速度。分析：代入初始条件可由、求出、，再由求导得到，再求出加速度分量、，最后由其合成加速度。解： 由且可知： 所以 则t=0.5(s)时质点的线速度、角加速度、切向加速度和总加速度分别为：1-19 一只在星际空间飞行的火箭，当它的燃料以恒定速率燃烧时，其运动函数可表示为，其中u是喷出气流相对火箭体的速度，是一个常量，b是与燃烧速率成正比的一个常量。(1)求此火箭的速度；(2)求此火箭的加速度表示式；(3)设，并设燃料在120s内燃烧完，求t=0s和t=120s时的速度；(4)求在t=0s和t=120s时的加速度。分析：由运动方程的表达式可得速度表达式，加速度表达式。再将
9、已知代回、即能求出最后两小题。解： （1）由可知此火箭的速度为：(2)此火箭的加速度为：(3) 火箭在t=0s和t=120s时的速度分别为：(4) 火箭在t=0s和t=120s时的加速度分别为：1-20 一质量为10kg的质点在力的作用下沿轴作直线运动。在=0时，质点位于处，速度为，求质点在任意时刻的速度和位置。分析：可由牛顿第二定律可求出质点的加速度，进而由积分求出速度。再由速度表积分求位矢。解：由牛顿第二定律得由 得 质点在任意时刻的速度：由 得 质点在任意时刻的位置： 1-21 以速度作匀速运动的汽车，在关闭发动机后，它的加速度为，其中k为比例常数，是速度。求：(1)关闭发动后t时刻的速
10、度；(2)关闭发动机后在t时间内前进的距离。分析：可由积分求出速度，再由速度表积分求位矢。解： （1）由可知： ， 上式两边积分 （2）由 可得： 上式两边积分 1-22一质量为的小球，最初位于如图所示的A点，然后沿半径为的光滑圆轨道ADCB下滑，试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作用力。分析：因为圆轨道对它的支持力在法向方向，所以受力分析时把力按切向和法向分解，在该两方向上用牛顿第二定律列方程，注意变换，就可求出，再由、的关系求出。解：小球在运动过程中只受重力和圆轨道对它的支持力，取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得图1-31 习题1-22图解法向： （1）切向： （2）由（2）式 ：
11、即 而故 等式两边积分 得 则小球在点C的角速度为 由（1）式得 由此可得小球对圆轨道的作用力为 负号表示与法向正向反向。1-23轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0kg，飞机以55.0m.s的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数，求：（1）10s后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s内滑行的距离。分析：先由牛顿第二定律求出加速度，再由积分求出速度，再由速度表积分求位矢。解： 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，由牛顿定律及初始条件，有得 因此，飞机着陆后的速率为 又 故飞机着陆后10s内滑行的距离 习题1-24图解1-24一物体自地球表面以速率竖直上抛。假定空气对物体阻
12、力的值为，其中m为物体的质量，k为常量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值（设重力加速度为常量）。分析：分别对物体上抛、下抛时作受力分析，由牛顿第二定律把力与加速度相联系，再注意由加速度变换出与的关系，再积分求出的表达式及速度。解： 以地面为原点，竖直向上为y轴如图所示。（1）物体在上抛过程中，根据牛顿定律有： 依据初始条件对上式积分，有 物体到达最高处时，故有 （2）物体下落过程中，有 对上式积分，有 则 1-25 将物体用细绳系住，绳的另一端固定在支架上，绳长为，物体经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，形成所谓的圆锥摆。已知物体的质量为，绳与铅直线的夹角为，试求
13、此时绳中的张力和物体运动的周期。习题1-25图解分析：受力分析时分别按牛顿定律在切向、法向列出方程求得拉力F，周期可通过与求出。解：选小球为研究对象，其受力如图，由牛顿定律可得：法向： （1）竖直方向： （2）由（2）式可得此时绳中的张力为： 将（1）式与（2）式相除 即 且 则物体运动的周期为： 综合练习题、填空题1、已知质点作曲线运动，且加速度为一恒量。如图1-32所示。则质点（填能或不能）作匀变速率运动。2、已知子弹的轨迹为抛物线，初速度为，并且与水平面的夹角为，不计空气阻力，试回答该子弹在运动中： （1）量值是否变化？；（2）向量值是否变化？； （3）子弹的法向加速度是否变化？；（4）顶点和落地点的曲率半径分别为和。3、两汽车A和B，分别在平行直线轨道上行驶，已知它们的运动方程分别是（SI）。则在时，两汽车在同一地点相遇；在时，两汽车相对速度为零。4、如图1-33所示，质量为的物体A和B分别固定在一弹簧的两端，再用一细线把它们悬挂起来。弹簧的质量忽略不计。当把细线烧断的瞬间，A物体的加速度为，B物体的加速度。5、已知一质点位矢为，则质点速度的大小为，质点的运动轨迹为，所作运动为方向（填顺时针或逆时针）的运动。二、选择题1、对于一个运动的质点，下面哪种情形是不可能的：（ ）A、 具有恒定速率，但有变化的速度；B、加速度为零，而速度不为零；C、加速度不
