数学建模倒煤、公交模拟

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1、 1.不急于建立模型。先确定 解决问题额原则,再从不同角度 描述问题： 例：战时飞机库 例：准则不同，行动不 同，结果不同。 2. 找出初态、终态， 初态通往终态的障碍。 3.抽象化简 例：万有引力定律发现 与宇宙飞船制造。 例；海王星、冥王星发现。 4.”定律”可为现有物理定律 也可为实验规律.即选取参照系 实际问题 解析地或近似地解 此数学问题 解释、验证 投入使用 根据某种“定律”建立变量与 参数之间的一个数学关系 通过无通过 抽象、简化、 明确变量与参数 1 系统的假设： （1） 顾客源是无穷的； （2） 排队的长度没有限制； （ 3） 到达系统的顾客按先后顺序依次进入服务。 例1.

2、单服务员的排队模型：某商店有一个售货员,顾 客陆续来到,售货员逐个地接待顾客.当到来的顾客较 多时,部分顾客须排队等待,被接待后的顾客便离开商 店.设： 1.顾客到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布 .对顾客的服务时间服从4,15上的均匀分布 .排队按先到先服务规则，队长无限制 假定一个工作日8小时，时间以分钟为单位。 1.模拟一个工作日完成服务个数及顾客平均等待时间t 2.模拟100个工作日,求出平均每日完成服务个数及每日顾 客的平均等待时间。 2 符号说明 w：总等待时间； ci：第i个顾客的到达时刻； bi：第i个顾客开始服务时刻； ei：第i个顾客服务结束时刻 xi：第i-1个顾客与

3、第i个顾客之间到达的间隔时间 yi：对第i个顾客的服务时间 c1 b1 c3c4c5c2 e1 b2 e2 b3 e3 b4 e4 b5 ci=ci-1+ xi ei=bi+yi bi=max(ci,ei-1) t 3 模拟框图 初始化：令i=1，ei-1=0，w=0 产生间隔时间随机数xi参数为0.1的指数分布 ci=xi , bi=xi 产生服务时间随机数yi4,15的均匀分布 ei=bi+yi 累计等待时间：w=w+bi-ci 准备下一次服务：i=i+1 产生间隔时间随机数xi参数为0.1的指数分布 ci=ci-1+ xi 确定开始服务时间：bi=max(ci,ei-1) bi480?

4、YN i=i-1,t=w/i 输出结果：完成服务个数：m=i 平均等待时间：t 停止 问题：若要顾客平均等待时间不超过10分，应 设几个售货员？ 倒煤台的操作方案 某煤炭公司有一容量为1.5标准列车的倒煤台。装 满空倒煤台需一个小组工作6小时，费用9千$/h。 为提高装煤速度，可以费用12千$/h动用第2小组。 每天3列空标准车来运煤，列车在520点任一时刻 到达，装满一标准车用3小时。向倒煤台装煤时不 能装车。若列车到达因等待向倒煤台装煤而停滞， 铁道部征收滞期费15千%/h。此外每周4的1113 点，有一大型列车到达，其容量为标准车2倍，滞 期费25千%/h。 1)如何操作费用最低？最低费

5、用是多少？ 2)如果标准列车在指定时刻到达？如何安排调 度费用最低？ 模拟思路 1). 费用C由两部分组成：倒煤费用CL与滞期费CD. 因每天要装煤数量一定，故费用取决于如何。动 用第2组。目标函数为C=CL +CD 2).因理论上的困难，很难得到最优方案，考虑到这 是一个每天重复的问题，重要的是提供一套简单明 确规律，是煤炭公司便于操作地获得接近最优的解 。所以在“便于操作”和“最优”之间做了折中。 设：rA是装满标准列车A所需要煤量。 rB是装满大型列车B所需要煤量。 Q是倒煤台剩余煤量。 t是当前时刻。 以每小时向列 车装煤量为单 位 操作应遵守规则 1).有车等待时，两组装煤节约的滞期

6、费大于增加的装 煤费，此时使用第2组。 2). 同时有2、3车等待时，先装已经装煤最多的车。 3). 同时有大容量车A和小容量车B等待时: 先装A的滞期费为： 先装B的滞期费为： 当CD1CD2时先装A. 4).若当前待装车为A时，则用2个组倒 煤直到QrA 或Q=4.5时为止。 5).周4装大、小容量车工需15小时，即使周4早5点前 装满倒煤台，当天用2个装煤组仍要工作7小时，合计 22小时，故周5早3点才能完成周4任务，此时倒煤台 为空。为保证周5工作，应开始倒煤。所以周4始终用 两个组倒煤。 6).非周4，若t时刻无车等待，设下一辆车到达时间为 t+t，若3/4 3-Q ，则时间充足可用

7、一个组倒煤，直 至倒煤台满或下一辆车来。否则用两个组. 7).非周4，不知列车到达时间，设t时刻倒煤台存煤为 Q，无车等待，当天尚有i辆车未到，设车到达时间独 立服从均匀分布 ，则存在ti(Q)5,20，当tti(Q)时 用一个组倒煤。否则用两个组. ti(Q)的选择应满足使总费用最小原则。其 解析解难以求出，故采用计算机模拟 先任取Q0,4.5，注意到：5 t3(Q) t2(Q) t1(Q) 20 在以上约束下，以一定步长(如0.1)取ti(Q)(i=1,2,3)的各种 组合分别模拟计算平均费用，选出平均费用最小的一组 t1(Q)、 t2(Q)、 t3(Q)，作为给定Q时的t值。选取一系列不

8、 同Q重复以上过程，就得到ti(Q)(在各点的值。 进一步分析可缩小ti(Q)的范围， 减小计算量。此工作留为作业。 在以上规则下，以均匀时间间隔推进法，进行模 拟流程如下： 开始 t5,初试化统计数据 产生3个独立、均匀分布随机变量作为标 准车到达时刻。周4产生大型到达时刻 装满倒煤台,时间t推进到第一天 在时刻t有车等待吗？ 当天车到齐吗？ 模拟天数足够大吗？ 输出模拟结果结束 倒煤台满吗？ 按规则 5、7装 倒煤台 按规则2、 3选出待装 列车 按规则4 选装车或 装倒煤台 t t+t 模拟结果年滞期费3570千$ 年度总费用90899千$ 标准列车到达时刻可以指定时，分3中情况考虑(记

9、tA、 tB、 tC为3列车到达时刻，且tA tB tC )。 1）非周4、周5： 可推出滞期费为0且不使用第2组，当切仅当： 上式解不唯一，任取一组则可。如取: tA=5, tB=10, tC=17. 2).周4 标准列车到达时间尽量与大型列车错开。故取 tA=5, tC=20，此时用模拟方法确定tB得tB=20时费 用最小. 2).周4: 标准列车到达时间尽量与大型列车错开。故取 tA=5, tC=20，此时用模拟方法确定tB得tB=20时费 用最小. 3).周5: 因周4工作量大,将积压到周5,为减少等待,发车时 间尽量靠后.故取tA=8, tB=15, tC=20. 2001年B题 公

10、交车调度 考虑某公交线路上公交车的调度问题，其数据来自 我国某市某条公交线路的客流调查和运营资料。 该公交线路上行共14站，下行共13站，给出的是典型的 一个工作日两运行方向各站上下车的乘客数量统计。 公交公司配给该线路的大客车，标准载客:100 人/辆，平 均速度:20公里/小时。 运营调度要求，乘客候车时间一般10分钟，早高峰时一 般 5分钟， 50% 车辆满载率 120%。 根据这些资料和要求，为该线路设计个便于操作的全天( 工作日)公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表 ；共需要多少辆车；此方案以怎样的程度照顾到了乘客 和公交公司双方的利益；等等。 如何将此调度问题抽象成明确、完整

11、的数学模型，指 出求解模型的方法；根据实际要求，若要设计更好的 调度方案，应如何采集运营数据。 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表 上行方向：A13开往A0 站名A13A12A11A10A9A8A7 A0 站间距(公里) 1.60.510.732.041.26 0.53 5:00-6:00 上371605243769048 0 下08913204845 67 6:00-7:00 上1990376333256589594315 0 下099105164239588542 615 22:00-23:00上19332553 0 下033581817 21 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表

12、下行方向：A0开往A13 站名A0A2A3A4A5A6A7 A13 站间距(公里) 1.56 1 0.441.2 0.97 2.29 1.62 5:00-6:00 上22342443 0 下0211677 9 城市公共交通线路的仿真 1).正点率 正点率 = 各站正点通过的车次数 通过各站的车次总数 2).乘客留乘时间 总留乘时间 =(第i站留乘人数)(留乘时间) 3).未满载率 未满载率= 乘客数少于50的车次路段数 车次路段总数数 矛盾 系统分析 .首站发车:是否到发车时刻,车场有车可发否? 首站上车人数,到达下站时间. .到达中途车站:计算该站上下车人数,确定留乘人 数及时间.预测下一事

13、件出现时间,类加运行公里数. .末站:确定汽车是排队还是立即发出. 假设: .单位时间内到站人数服从泊松分布，其均值单 位时间内到站人数. .各车从第i站到第i+1站运行时间服从正态分布.各车从第i站到第i+1站运行时间服从正态分布， 期望、方差可用统计方法估计。 .车上乘客在以后各站下车的概率相等. .每位乘客上、下车所需要时间TD秒. .一般时段发车间距t1, 早高峰时段发车间距 t2. .该线路共配有2m辆车。 任务：选取m 、t1、t2的不同搭配，仿真运行，选 择出最优匹配方案。 仿真过程：可按下面图15的流程对系统进行仿真。 调用初始化子程序 时间步长加1 调用各站乘客子程序 调用起

14、点站发车子程序 调用车辆到站子程序 调用上下车子程序 计算各站停留乘客数 累加总留乘时间 是否仿真完毕? 计算正点率 总留乘时间 输出结果 停机 N Y 图1主程序流程框图 读入常数、仿真时刻置零 将每辆车乘客数置零 确定各车在停车场排队位置 将各站乘客数置零 将统计数据初始值置零 确定起点站发车时刻， 产生车辆到达各站时间 图2初始化子程序流程框图 各站是否考察完毕? 用泊松分布产生当前步 长内到达第j站乘客数 累加到达第j站乘客总数 计算当前在第j站 等车的乘客数 N Y 图3各站乘客子程序流程框图 改变队首车属性为运行 队长减1，调整队位，发车数加1 产生BUS(j)到达下站的时间及车号 计算BUS(j)在首站上车乘客数 BUS(j)在首站停留时间 当前是发车时刻吗？ 改变发车时刻 产生BUS(j) 下站下车的 人数 N Y 停车场有车可发吗？ N Y 图4起点发车子程序流程框图 不准时车数加1 记录到站车辆号及到站站号 是BUS(j)到站时间吗？ N Y BUS(j)准时吗？ N Y 所有车考察完毕吗？ 图5车辆到站子程序流程框图 N Y 计算机模拟法检验足球队排名方案 的优劣性、稳定性：及参数的选取：