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1、补充章节 符号运算,MATLAB7.x的符号计算工具包为3.1版，它以Maple的内核为符号计算的引擎，依赖MAPLE已有的库函数。,MATLAB中包含两个工具包：基本Symbolic Math Toolbox和扩展Symbolic Math Toolbox。 基本Symbolic Math Toolbox收集了100多个MATLAB函数，提供了访问Maple内核的途径，它所采用的语言形式是MATLAB语言的自然扩充，它也允许访问Maple的线性代数软件包中的函数。 扩展Symbolic Math Toolbox增加了一些功能，包括访问所有的Maple非图形软件包、Maple编程特征和用户定义
2、的过程。通过这两个工具包，用户可以书写的M文件，访问Maple函数和Maple工作空间。,为了获得Symbolic Math Toolbox的快速联机介绍，可在MATLAB命令窗口键入demos，MATLAB将显示MATLAB demos对话框，选取Symbolic Math即可。,Symbolic Math Toolbox定义了一个新的数据类型为符号对象（所有symbolic object）或sym。本身来讲，一个符号对象是一种数据结构，用来存贮代表符号的字符串。Symbolic Math Toolbox使用符号对象代表符号变量、表达式和矩阵。,1 符号对象和符号表达式,一、创建符号变量 （
3、1）生成符号变量 例：syms a b x X Y;k=sym(3); z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta); % 将字符串表达式变成符号变量 EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y; %创建符号数学函数 说明：前两条指令定义a b x X Y是符号变量，定义后就可以参加后面的符号计算了。,例：用符号变量代表黄金分割比率： rho=sym(1+sqrt(5)/2); %下面可以对rho进行各种操作了。 f=rho2-rho-1 simple(f) simplify(f),例：求矩阵A=a11,a12;a21,a22的行列式值、逆和特征根 syms a11 a12
4、 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33; A=a11 a12 a13;a21 a22 a23; a31 a32 a33, DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A),(2)实型和复型符号函数的创建 sym命令可以确定符号变量的数学属性，通过real选项实现。也就是说，下列指令包含了符号变量x和y，并有附加的数学特性为实型变量。 x=sym(x,real);y=sym(y,real); 或采用更有效的方式定义： syms x y real z=x+j*y; 特别地，这意味着表达式f=x2+y2严格非负，因此z是一个复变量，可以做如下操作。 conj(x),con
5、j(z) 返回相应变量的共轭复数。,二、符号表达式中自由变量的确定： findsym函数 syms a b x X Y;k=sym(3); z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta); EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y; findsym(EXPR) % 除常数符号 k 外的所有独立符号变量都被列出 findsym(EXPR,1) %在 EXPR 中确定一个自由符号变量 findsym(EXPR,2),findsym(EXPR,3) %在 EXPR 中确定 2 个和 3 个自由变量,2 符号表达式和符号函数的操作,一、符号表达式的操作 1、collect: 合并系
6、数 EXPR=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); expr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数 expr2=collect(EXPR,exp(-t) % 合并 exp(-t) 同幂项系数,2、factor 指令的使用:分解因式和质数分解 （1）除 x 外不含其它自由变量的情况 syms a x;f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6;factor(f1) （2）含其它自由变量的情况之一 f2=x2-a2;factor(f2) （3）对正整数的质数分解 factor(1025) 例：对多项式进行嵌套型分解horner clear;syms
7、a x;f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6;horner(f1),写出矩阵 各元素的分子、分母多项式，求矩阵各元素的分子、分母多项式 syms s;A=3/2,(s2+3)/(2*s-1)+3*s/(s-1);4/s2,3*s+4; n,d=numden(A) pretty(simplify(A) % 为方便阅读而设。,3、化简simple和simplify 例：用符号计算验证三角等式。 syms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2),二、通用置换指令 用简单算例演示 subs 的置换规则。 （1）产生符号
8、函数 syms a x;f=a*sin(x)+5; （2）符号变量置换 f1=subs(f,sin(x),sym(y) （3）符号常数置换 f2=subs(f,a,x,2,sym(pi/3) （4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ） f3=subs(f,a,x,2,pi/3),（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ） f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) （6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ） f5=subs(f,a,x,0:6,0:pi/6:pi),3 符号微积
9、分,一、 符号序列的求和 例、求 syms k t;f1=t,k3;f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/k; s1=simple(symsum(f1) %f1 的自变量被确认为 t s2=simple(symsum(f2,1,inf) %f2 的自变量被确认为 k,二、符号微分和 jacobian矩阵 例：求 、 和 syms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x); df=diff(f) % 求矩阵 f 对 x 的导数 dfdt2=diff(f,t,2) % 求矩阵 f 对 t 的二阶导数 dfdxdt=diff(diff(f,x),t) % 求二阶混合导数,例：求
10、的 jacobian矩阵。 syms x1 x2 x3; f=x1*exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2); v=x1 x2; fjac=jacobian(f,v),三、符号积分- inf 例：求 。 syms a b x;f=a*x,b*x2;1/x,sin(x); disp(The integral of f is); int(f) 例:求积分 。 注意：内积分上下限都是函数。 syms x y z; F2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2),4 符号积分变换,一、 Fourier变换及其反变
11、换 二、Laplace变换及其反变换 三、Z变换及其反变换,5 符号代数方程的求解,一、线性方程组的符号解 例：求线性方程组 的解。本例演示，符号线性方程组的基本解法。 A=sym(1 1/2 1/2 -1;1 1 -1 1;1 -1/4 -1 1;-8 -1 1 1); b=sym(0;10;0;1);X1=Ab,二、一般代数方程组的解solve 例: 求 的解。 clear all,syms x;s=solve(x+2)x=2,x),6 符号微分方程的求解,例:求 的解。 S=dsolve(Dx=y,Dy=-x); disp(blanks(12),x,blanks(21),y), disp(S.x,S.y),
