《函数极限的性质证明(精选多 篇).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数极限的性质证明(精选多 篇).docx（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一篇：函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(an) 2 只要证明x(n)单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： 证明x(n)单调增加。 x(2)=5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化) =/【+
2、】>0。 证明x(n)有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=<(2+3*4)<4。 3 当0 当0 构造函数f(x)=x*ax(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t>1) 则： lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx =lim(x+)(分子分母分别求导) =lim(x+)1/(tx*lnt) =1/(+) =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n (2)lim=3/2 n (3)lim=0 n
3、 (4)lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。lim就省略不打了。 n/(n2+1)=0 (n2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0 lim(n2
4、+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 第二篇：函数极限的性质 3.2 函数极限的性质 2函数极限的性质 . 教学目的与要求 1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题. 2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. . 教学重点与难点: 重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. . 讲授内容 在1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1)limf?x? ；2)
5、limf?x?；3)limf?x?x?x?x? f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim?x?x0x?x0x?x0 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可. 定理32(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的 x?x0 证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的?0，分别存在正数 ?1与?2，使得当0?x?x0?1时有 f?x? ，(1)当0?x?x0?2时有 f?x? ，(2) 取?min?1,?2?，则当0?x?x0?时，(1)式与(2)式同时成立，故
6、有 ?(f?x?)?f?x?f?x?f?x?2? 由?的任意性得?，这就证明了极限是唯一的. 定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界 x?x0 证设limf?x?取?1，则存在?0使得对一切x?u0?x0;?有 x?x0 f?x?1?f?x?1 这就证明了f在u0?x0;?内有界 定理34(局部保号性)若limf?x?0 (或?0)，则对任何正数r?（或x?x0 r?)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有 f?x?r?0（或f?x?r?0） 证设?0，对任何r?(0,?)，取?r，则存在?0，使得对一切 x?u0?x0;? f?x?r
7、， 这就证得结论对于?0的情形可类似地证明 注在以后应用局部保号性时，常取r?a2 x?x0定理35(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?内x?x0? 有f?x?g?x?则 limf?x?limg?x?（）x?x0x?x0 证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的?0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0 得当0?x?x0?1时有 ?f?x?， 当0?x?x0?2 时有 g?x? 令?min?,?1,?2，则当0?x?x0?时，不等式f?x?g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有 ?f?x?g?x? 从而?2?由?的任意性推出?，
8、即(3)式成立 定理36(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=，且在某u0x0;?内有 x?x0x?x0? f?x? 则limh?x? x?x0h?x?g?x? 证按假设，对任给的?0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0?1时有，2 ?f?x?(7)当0?x?x0?2时有 g?x?(8)令?min?,?1,?2，则当0?x?x0?时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立， 故有 ?f?x?h?x?g?x? 由此得h?x?，所以limh?x? x?x0? 定理37（四则运算法则）若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数 x?x0x?x0 f?g,f?g当x?x0时极限也存
9、在，且 1)lim?f?x?g?x?limf?x?limg?x?； x?x0x?x0x?x0 2）lim?f?x?g?x?x?x0x?x0limf?x?limg?x?； x?x0 又若limg?x?0，则f|g当x?x0时极限存在，且有 x?x0 3）limx?x0f?x?gxx?x0limf?x?limg?x? x?x0 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限 例 1求limx?x?0?x? 解当x?0时有 1?x?x?1， ?x?1? ?1? ?1?x?1?故由迫敛性得：xlim而
10、limx?=1 ?0?x?0?x? 另一方面，当x?0有1?x?1?x，故又由迫敛性又可得：lim x?1 ?x?0?x?x? 综上，我们求得lim x?1 x?0?x? 3 ?1?1?1?1? 例 2求lim?xtanx?1? x? 解由xtanx?xsinx及1例4所得的， cosx sixn?si?lim x?442?limcoxs， ?2x?4 并按四则运算法则有 limsinx ?xtanx?1?=limx?lim x?x?4?4x? 4limcosxx?1=?lim?x?4?1 4 例 3求lim?3?1?3? x?1x?1x?1? 解 当x?1?0时有 ?x?1?x?2?x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1 故所求的极限等于 x?2?1?2?1 2x?1x2?x?1?1?1?1lim 例4证明lima?1?a?1? x x?0 证任给?0 (不妨设?1)，为使 xa?1?（9） 即1?a?1?，利用对数函数loga loga?1?x?loga?1? 于是，令x（当a?1时）的严格增性，只要 ?min?loga?1?,?loga
