倒向随机微分方程与彭猜想

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1、山东大学 硕士学位论文 倒向随机微分方程与彭猜想 姓名：陈涛 申请学位级别：硕士 专业：运筹学与控制论 指导教师：陈增敬 20030420 山东大学硕士学位论文 倒向随机微分方程与彭猜想 陈涛 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 1 9 9 0 年，E P a r d o u x 和彭实戈教授引入如下一般形式的倒向随机微分方程： r Tr T y t = f + 夕( r jy ，Z r ) d r 一o d w ，t 0 ，T J tJ t 从那时起，许多专家致力于这一领域的研究，建立了倒向随机微分方程与随机控制、 微分对策、随机几何、偏微分方程以及金融

2、数学与数理经济学等领域的联系。 众所周知，倒向随机微分方程如果满足一定的条件，则它有唯一的一对适应解。 1 9 9 5 年，彭实戈教授由倒向随机微分方程引入如下的非线性数学期望一g 一期望： g 吲= Y o 这一非线性数学期望几乎可以满足经典数学期望所满足的除线性性外其它所有性质 ( 详见第四部分) 。本文将通过探讨倒向随机微分方程的解( Z t ) o cc c 丁的性质来研究 如下问题： ( 1 ) 由于经典数学期望可以表示成相应概率的C h o q u e t 积分的形式，彭实戈教授 据此提出猜想：g - 期望是否也可以表示成C h o q u e t 积分的形式? ( 2 ) 在经典

3、概率论中，大数定律占有非常重要的地位，那么在我们引入了g 一期 望与分概率之后，我们自然想知道关于g 一期望与g 一概率是否也存在相应的大数定 律? ( 3 ) 经典数学期望的其它性质中哪些是对哥期望满足的? 哪些是对g 一期望不满 足的? 围绕这几个问题，本文进行了详细的研究论证并给出了相应的初步结果 本文一共分为七部分： 第一部分：介绍本文所要研究的问题的背景 山东大学硕士学位论文 第二部分：介绍倒向随机微分方程的主要已有成果，包括解的存在唯一性定理、 比较定理、非线性F e y m a n n K a c 公式以及其它要用到的数学结果。 第三一第七部分是我的主要工作： 第三部分：对于如下

4、形式的部分耦合的正倒向随机微分方程： J 霹3 = z + 正56 ( r ，珲。) d r + F 盯( r ，霹，。) d 叫， ( 1 1 ) l ，。= 西( 肆。) + r 9 ( _ 玲一，z z ) d r 一霉r d w ，( 1 2 ) 我证明了在b ，盯，9 ，西满足一定条件时，如果西单调非降，则z 保持非负；如果西单 调非增，则z 保持非正。 对于b ，仃，9 都不显含时间的如下正倒向随机微分方程： IX s = z + 筵b ( X ，) d r + 赡。t X o 洮f 【l ：n ，= 中( j k ) + f 2 ，g ( E ，Z ，) d r 一丘，乙d 叫，

5、 其中： r ：= i n f s 0 ，X 。隹G )G = ( ，p ) 可以利用常微分方程的方法，证明： 当圣( ) 西( 卢) 时，V s 0 ，T ，五0 ，a 8 ； 当西( o ) 西( p ) 时，V s 0 ，丁】，互 0 ，a 8 ； 当垂( 。) 0 ，o s ；当f = 蛀：。，司，V a ，b I I 山东大学硕士学位论文 R ，a 0 ， J i 巴局 旧垒l 碍一岛f 碍】I 0 ，a s ； i f 西( a ) 0 ，n ：i f = I I b _ w T = n 】，讹，b R ，a 0 ，扣l i m 。B m ：l 碍一蹦磷】I 1 ，D 坦，且w =

6、 露( D 。f ) 2 d s 可 逆a 8 ，那么：f 的分布关于L e b e s q u e 测度绝对连续。 在第六节中我们将用到这一结果 下面我们将利用上面的引理证明下面几节的结果 7 山东大学硕士学位论文 第三节倒向随机微分方程的解Z 的性质的研究 首先我们来研究如下如下一维F B S D E 的解Z 保号的一个充分条件 J 五= z + 片b ( r ，X ) d 7 + 正3 a ( r ，X r ) d w ， ( 3 1 ) IK = 垂( x r ) + r 9 ( r ，V ，Z r ) d r r Z r d w ，( 3 2 ) 这一F B S D E 的变分方程为

7、 1 + 止36 。( r ，X r ) V X r d r + F 口。( _ X , ) V X r d w ，( 3 3 ) 中。( 硒) V 场+ J Y g g ( r ，K ，4 ) V K + 乳( r ，K ，Z r ) V Z , d r rV Z ，d w ，( 3 4 ) 引理3 1 假定b ，盯满足( H 2 5 ) ，且V ( t ，z ) 1 0 ，T 】R ，o f t ，z ) 0 ，随机微分方 程( 3 1 ) 的解为( 托) c ! 。! 丁，则Y s 【t ，卅，X 。的分布关于L e b e s q u e 测度绝对连续， 也即存在不恒为零的密度函数。

8、证明：由引理2 6 知： fD ，X s = 0r s 【D ，X s = V X 。V X ：1 盯( r ，X ，) r s 而解关于V x 的线性S D E ，得 广s 1 r 5 V x ；= e x p 【k ( nX ，) 一百1 口。2 ( - X ，) d r + a o ( - X ，) d 训，) ， J o J t 因而V 五 0 ，V s 【t ，T 】，又由于v ( t ，z ) 【t ，T 】R ，o ( t ，z ) 0 ，所以由引理2 7 知 广o 7 x 。= ( D r 五) 2 d r 0 ，V s t ，丁】， J 0 所以X 。的分布关于L e b e

9、 s q u e 测度绝对连续。 在b ，盯，g ，西满足( H 2 5 ) ，( H 2 ，6 ) 的条件下，我们来分析z ( ) 的符号： 定理3 2 假定( H 2 5 ) ，( H 2 6 ) 成立，V ( t ，z ) 0 ，T lX R ，o ( t ，。) 0 ，( X ，Z ) 是F B S D E ( 3 1 ) ( 3 2 ) 的适应解，那么： ( 1 ) 当西( ) 在R 上关于X 单调不减时，Y s 【t ，卅，五20 ，a 8 ； 当由( ) 在R 上严格单调增加时，Y s I t ，T I ，磊 0 ，1 1 8 ； ( 2 ) 当中( ，) 在R 上关于。单调不增

10、时，Y s t ，丁】，五0 ，a 8 ； 当垂( ) 在R 上严格单调减小时，V s t ，T 】，玩 0 ，V s k 丁】对王V K 作，公式，可解得： V K = 叫吒( X r ) V x r g T l 】 由( 3 5 ) 知 札：( s ，X 。) = E 0 。( 而) V 晒坼1 7 ： V X 。，V s t ，T 】 由引理2 5 ( 3 ) 知 五= 让。( s ，j k ) 盯( s ，k ) = E 【咖。( j 0 ) V x H r I 一】V x 。一1 盯( 5 ，X 。) V s f ，T 9 d巩 磊 P r lr 啦 U ， +r爿日磊 耳 r 野

11、口 。 ， 丁 十 t 1 | | 怕 巩 0X V 令 以所 山东大学硕士学位论文 又因为v ( t ，。) 0 ：T XR ：J ( ，z ) 0 ，V x 。，V X T 0 ，H T 0 ，则：当西在R 单调 不减时，中。0 恒成立，所以V s ，五兰0 ，os ；当圣在R 单调不增时，西。茎0 恒成 立，所以V s ，五S0 ，s 。 进一步，当中。 0 恒成立时，V 5 ，互 0 ，a s ；当西： 0 ，a 8 同理：当西在R 上严格单调递减时， Z s 0 ， 使得： E 【s u pj ，? 一l ? 1 2 + I 乏一霉1 2 d s l z t 】C E I ( 。一f

12、 。1 2 + ( l 吼1 d s ) 2 I 五】 其中吼= g l ( s ，：1 忍) 一9 2 ( s ，? ，乏) 注：此定理的证明可见参考文献：6 1 定理3 5 如果b ，盯，g ，中满足( H 2 3 ) ，( H 2 4 ) ，且v ( t ，z ) 0 ，T 】X R ，o ( t ，z ) 20 ， 则； ( 1 ) 当西关于z 在R 上单调不减时，五0 ，a 8 ，a e ，； ( 2 ) 当西关于z 在R 上单调不增时，五0 ，a 3 ，a e 证明：当b ，盯，g ，垂满足( H 2 3 ) ，( H 2 4 ) 时，( x ，y ，z ) 是F B S D E

13、( 2 2 ) ( 2 3 ) 的解。 对于满足条件的b ，盯，g ，圣，我们可以分别找到满足( H 2 5 ) ( H 26 ) 的一族函数 以，c r 。，g 。，西。分别一致收敛到b ，盯，g ，圣，且饥与垂有相同的单调性 将b 。，以，g 。，饥代入F B S D E ( 2 2 ) ( 2 3 ) 得： 霉三；蕊墨麓d rZ Z 以；) d r r 掣篙d w ， 慨e ， 【埒= 西。( 酶) + r 矶( n 玲，一r 名， 一。 1 0 山东大学硕士学位论文 ( x ，y ，Z ) 是方程( 3 6 ) 的解，则由B u r k h o l d e r - D a v i s

14、G u n d y 不等式和G r o n w a l l 不 等式容易证得： E s u pI 嚣一X 。1 2 = 0 0 ) ， e - - - - 40 s 6 t ，T 】 由引理3 4 得： E s u pI E K 1 2 + E l 露一z , 1 2 c l s = o ( 1 )E _ 0 ， 所以研一五，n ，a e 当垂单调不减时，西。也是单调不减，由定理3 2 得：霉0 ，所以互0 ，a 8 ，a e ， 同理当垂单调不增时，Z 8 茎0 ，a 8 ，a e 。 在定理3 5 中，我们将西的条件放宽到连续情况，实际上对某些不连续的情况， 我们只要能找到一族光滑的函数来

15、逼近它，则仍然可以得到如同定理3 5 的结论： 定理3 6 假定6 ，盯，g 满足( H 2 3 ) ，( H 2 4 ) ，v ( t ，z ) 【0 ，T 】R ，o ( t ，z ) 0 ，若 圣为示性函数，F B S D E ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 仍然有唯一解，且： ( 1 ) 当e o ( z ) = 。】，V a R 时，互0 ，a , 8 ，o e ； + ( 2 ) 当垂0 ) = 丘。) ，V a R 时，互0 ，a , 8 ，a , e 证明：对于垂( z ) = 丑。，。) ，V a R 的情形，我们可以如下取到一族函数蛾，使得中。 一致收敛到圣： 对V e 。，令圣。( z ) = e - c 。1 m ，其中：d ( 。) = 一司3 ：；：； 由于西。单调不减，类似定理3 4 的证明，我们可知：磊0 ，a 8 ，a e ；同理对 于圣( z ) = 。 0 。使得V x G 都 有盯( o ) 7 ( H 3 2 ) g ( 可，z ) 在R XR 上连续可微且导数一致有界， 垂( 。) C 3 ( R ) ， 山东大学硕士学位论文 我们口J 以足义如F 的随机微分方