《工程力学(材料力学)9圆轴扭转的强度与刚度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学(材料力学)9圆轴扭转的强度与刚度（90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,返回总目录,范钦珊教育与教学工作室,返回总目录,2019年11月12日,工程力学,清华大学 范钦珊,课堂教学软件(9),第二篇 材料力学,工程力学,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算,第二篇 材料力学,工程力学,返回总目录,工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力变形分析以及强度设计和刚度设计。,分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基本相同。依然借助于
2、平衡、变形协调与物性关系。,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形, 剪应力互等定理, 承受扭转时圆轴的强度设 计与刚度设计, 结论与讨论, 圆轴扭转时的剪应力分析,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,返回总目录,返回, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,请判断哪一杆件 将发生扭转,当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,请判断哪一杆件 将发生扭转,拧紧罗母的工具杆不仅产生扭转，而且产生剪切, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转
3、变形,请判断哪些零件 将发生扭转,传动轴 将产生扭转, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,请判断哪一部件 将发生扭转,请判断哪一部件 将发生扭转,唱机的心轴将产生扭转, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,请判断轴受哪些力 将发生什么变形, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形, 工程上传递功率的圆轴 及其扭转变形,当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。,不难看出，圆轴受扭后，将产生扭转变形（twist deformation），圆轴上的每个微元
4、的直角均发生变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用 和 表示。,返回, 剪应力互等定理,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算, 剪应力互等定理,圆轴扭转时，微元的剪切变形现象表明，圆轴不仅在横截面上存在剪应力，而且在通过轴线的纵截面上也将存在剪应力。这是平衡所要求的。,如果用圆轴的相距很近的一对横截面、一对纵截面以及一对圆柱面，从受扭的圆轴上截取一微元，微元与横截面对应的一对面上存在剪应力，这一对面上的剪应力与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为dydzdx。,为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的一对面上，必然存在剪
5、应力，这一对面上的剪应力也组成一个力偶矩为 dxdzdy的力偶。这两个力偶的力偶矩大小相等、方向相反，才能使微元保持平衡。,微元能不能平衡？,怎样才能平衡？,哪些力互相平衡？, 剪应力互等定理,哪些力互相平衡？, 剪应力互等定理,根据力偶平衡理论,剪应力互等定理, 剪应力互等定理,如果在微元的一对面上存在剪应力，另一对与剪应力作用线互相垂直的面上必然垂直大小相等、方向或相对(两剪应力的箭头相对)或相背(两剪应力的箭尾相对)，以使微元保持平衡。微元上剪应力的这种相互关系称为剪应力互等定理或剪应力成对定理(theorem of conjugate shearing stress),返回, 圆轴扭转
6、时的剪应力分析,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算,分析圆轴扭转剪应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基本相同，就是：根据表面变形作出平面假定；由平面假定得到应变分布，亦即得到变形协调方程；再由变形协调方程与应力应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式；最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式。, 圆轴扭转时的剪应力分析,应力分布,应力公式,变 形,应变分布, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时的剪应力分析, 变形协调方程, 弹性范围内的剪应力剪应变关系, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式, 静力学方程, 圆轴扭转时的剪应力分析, 变形协调方程,
7、圆轴扭转时的剪应力分析, 变形协调方程,圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平面假定。所谓“刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 变形协调方程,若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 变形协调方程,设到轴线任
8、意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：, 圆轴扭转时的剪应力分析, 变形协调方程,称为单位长度相对扭转角（angle of twist per unit length of the shaft）。,对于两相邻截面，,为常量，故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 弹性范围内的 剪应力剪应变关系,剪切胡克定律, 圆轴扭转时的剪应力分析, 弹性范围内的剪应力剪应变关系,若在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系,此即为剪切
9、胡克定律（Hooke law in shearing），式中G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量(shearing modulus)。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 弹性范围内的剪应力剪应变关系,其中,于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。,对于确定的横截面是一个不变的量。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 弹性范围内的剪应力剪应变关系,于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 静力学方程, 静力学方程, 圆轴扭转时的剪应力分析,作用在横截面上的剪应
10、力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有,此即静力学方程。,IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIP称为圆轴的扭转刚度（torsional rigidity）。, 静力学方程, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的 剪应力表达式, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其中Mx由平衡条件确定；IP由积分求得。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,最大剪应力,Wp 扭转截面系数, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转
11、时横截面上的剪应力表达式,截面的极惯性矩与扭转截面系数, = d / D, 对于直径为 d 的实心圆截面, 对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,例 题 1,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 1
12、,解：对于空心轴，,算得,d20.5D2=23 mm, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 1,解：确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 1,已知：P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大剪应力。,例 题 2, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式,
13、P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：计算各轴的功率与转速, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 2,Mx1=T1=1114 N.m,Mx2=T2=557 N.m,Mx3=T3=185.7 N.m,解：计算各轴的扭矩, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 2,解：计算各轴的横截面上的最大剪应力, 圆轴扭转时的剪应力分析, 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式例题 2,返回, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度计算计算, 扭转实验与扭转破坏现象,
14、 扭转强度设计, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计, 扭转刚度设计, 扭转实验与扭转破坏现象, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计, 扭转实验与扭转破坏现象, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,为了测定剪切时材料的力学性能，需材料制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。,对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验，使薄壁截面上的剪应力接近均匀分布，这样才能得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。,对于铸铁这样的脆性材料由于基本上不发生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到反映剪应力与剪应变关系的曲线。, 扭转实验与扭转破坏现象, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,试验结果表明，低碳钢的剪应力与
15、剪应变关系曲线上，类似于拉伸正应力与正应变关系曲线，也存在线弹性、屈服和破断三个主要阶段。屈服强度和强度极限分别用s和b表示。,对于铸铁，整个扭转过程，都没有明显的线弹性阶段和塑性阶段，最后发生脆性断裂。其强度极限用b表示。, 扭转实验与扭转破坏现象, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,韧性材料与脆性材料扭转破坏时，其试样断口有着明显的区别。韧性材料试样最后沿横截面剪断，断口比较光滑、平整。,铸铁试样扭转破坏时沿45螺旋面断开，断口呈细小颗粒状。, 扭转强度设计, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计, 扭转强度设计, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,与弯曲强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。,对于脆性材料，,对于韧性材料，,其中为许用剪应力。,圆轴扭转时的强度设计准则为, 扭转强度设计, 承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计,上述各式中许用剪应力与材料的许用正应力之间存在一定的关系。,对于脆性材料，,对于韧性材料，,如果设计中不能提供值时，可根据上述关系由值求得值。,已知：汽
