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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013 年 8 月26 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析 摘 要本文主要是对重金属污染浓度的分析，画出浓度的空间分布图，画出浓度的空间分布图，建立相关的模型，得出该地区的重金属污染
3、程度、污染原因以及污染源的所在位置。问题一要求我们对重金属污染浓度进行具体分析。首先采用Cubic插值法，利用Matlab软件画出五个功能区在城区的位置分布图及8种重金属元素空间分布图，以颜色深浅对重金属污染程度进行直观表现，颜色浅则表示浓度大并将两种分布图进行对比，得到8种重金属的具体分布区域。其次建立双权重因子模糊综合评判模型，考虑浓度和毒性双重因子作为权重判定各区域内不同元素的污染程度，最终得出：工业区普遍受到较重的重金属污染，其次为主干道路区，再次是生活区和公园绿地区，山林区基本未受到重金属的污染。问题二要求通过数据分析重金属污染的主要原因，我们发现各种重金属不是单一产生的，多种重金属
4、在产生的过程中往往具有伴随性。针对这种现象，我们使用因子分析法来确定各种重金属元素之间的相关性，然后利用它们的相关性定量分析各因子对8种重金属元素产生的贡献值。最终通过已知数据可以得出： Ni、Cr、Cu的污染主要是由主干道路区汽车尾气产生， Hg的污染主要是由工业“三废”产生， As的污染主要是由生活区杀虫剂等药剂产生， Zn的污染主要是由生活区垃圾焚烧和主干道路区汽车轮胎磨损产生。问题三在分析重金属污染的传播特征时，可以结合大气扩散模型和水体对流扩散模型的偏微分方程建立重金属元素的对流扩散模型。为求具体污染源的位置，在对扩散模型简化的基础上，利用反演扩散模型方程来求污染源。反演方程可以用遗
5、传算法来实现，把问题转化为建立一个非线性最优化问题。以为例，其污染源坐标为问题四要求我们分析已用模型的优缺点，并改进模型以研究更好的城市地质环境的演变模式。通过搜集不同历史时间不同位置的数据，利用时间序列分段线性拟合各个指标值，较准确地恢复任一历史时间的土壤质量指标，根据重金属元素浓度变化的大致趋势，采用三次指数平滑法对未来各指标变化进行预测。关键词：双权重因子模糊综合评判模型 因子分析 遗传算法 反演 扩散方程一、 问题提出随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研
6、究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、交通区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及
7、其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、 问题分析2.1对问题一的分析 题目要求统计出八种重金属元素在城区的空间分布，需要考虑重金属元素在X,Y,Z三维空间的浓
8、度分布特征。由附件给出的数据分析得，当X,Y的坐标确定之后，该点的海拔高度Z相应确定下来。所以在统计重金属的空间分布时，可以先考虑元素浓度和平面位置的关系，再通过海拔分布图分析元素分布与海拔之间的关系。对这八种重金属元素分布单独考虑，利用附件中各元素在城区的样本浓度，采用Cubic插值法采用Matlab软件对各元素含量分布进行空间分析，可以分别绘制出8种重金属元素的空间等高线分布图。当考虑不同区域内各元素的污染程度时，现行重金属污染评价方法一般采用污染物浓度超标赋权法。其中，地累积指数评价模型法1 ( Forstner，1989,Forstner et al.1993 ) 是Muller 提出
9、的一种能够较好地表征土壤中重金属富集程度的定量指标，但其评价法只考虑了浓度而未考虑到重金属元素本身的生物毒性。对于不同重金属，因污染物个体的毒性级别不同，污染物浓度超标赋权法有可能掩盖某些低浓度有机组分的毒性作用。因此本文采取双权重因子模糊综合评判数学模型，将污染物浓度和毒性级别指数加权叠加，并作归一化处理，得到某污染组分的权重公式考虑引入模糊综合评价来进行基于各元素浓度、毒性响应的多因素综合评价问题。结合环境土壤法给出的标准，对各区的综合污染进行进一步精确的分析。2.2对问题二的分析 对于问题（2），分析重金属污染的主要原因，我们主要要依据问题（1）中得出的各个功能区的不同重金属元素的污染状
10、况，得出某一重金属元素主要是由哪一种污染物所带来的。首先进行每个区域内八种重金属元素的相关性分析，相关性比较显著的重金属元素可以认为来自同一个污染源，由此可以大致确认每个区域污染源的种类。因为每个区域中重金属的种类众多，相互之间又具有比较明显的相关性，所以我们可以采用KMO法和Bartlett法对原始数据进行主成分分析适宜性检验的基础上，进一步考虑使用主成分分析法，由此分析出每个区域营销比较显著的若干种金属，从而确认出重金属元素的主要原因。2.3对问题三的分析 基于一个基本假设，我们发现重金属污染物的扩散符合对流扩散模型，则通过求解扩散微分方程，可以得到一个重金属污染物浓度的函数表达式，我们发
11、现，对于特定的重金属污染物，如果假设出几个污染源的位置以及相应的排放强度，即可求出整个区域的污染物浓度。根据附件已经给出的某一区域的污染物浓度实测值，我们可以检验假设的污染源位置是否正确，通过不断验证，一定可以找到几个污染源的位置，它们可以使得求出的这种重金属污染物的浓度分布与实际的分布最为接近，那么这几个污染源的位置即就是我们需要的污染源的位置。那么原问题便转化为了一个非线性最优化的问题，在matlab软件中，我们借助遗传算法，可以通过不断迭代，最终找出这样几个位置，满足要求，进而可以得出不同重金属的污染源位置。 2.4对问题四的分析 前三个问题的求解模型可以比较合理地解决问题，但是也在一定
12、程度上存在局限性。由此我们可以进一步收集该城区突然惩罚的信息，建立更优化的模型。三、 模型的假设（1）假设所有数据都是真实可靠的；（2）假设污染源为重金属含量最高的地方；（3）假设污染源的位置大概固定，不随时间变化。（4）假设污染元素在水平面的扩散在各个方向的扩散速度相同。（5）重金属污染物的扩散方式为简单的对流扩散，符合对流扩散方程；（6）污染物的浓度在海拔高度上大致都分布在0100以内，我们只考虑方向上的扩散；（7）由于扩散到一定程度，扩散的影响因素将会增多，我们假设存在理想最大扩散距离；四、 符号说明表1元素As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn 标号/j12345678表2污染
13、因子实测值污染因子对应于各级土壤重金属环境质量状况的标准值因子毒性指数因子权重值 的相关系数重金属浓度在三个方向的扩散系数 重金属浓度在三个方向的对流系数 污染源的排放强度污染源的理想最大扩散距离函数与解原微分方程等效的新函数五、 模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1重金属空间分布的求解5.1.1.1模型建立与求解 根据采样点各重金属元素的含量分布，采用Cubic插值法，应用Matlab软件对海拔高度和8种重金属的含量分布进行空间分析，可汇出以下空间分布图。 图1：海拔分布图图2：As空间分布图图3：Cd空间分布图图4：Cr空间分布图图5：Cu空间分布图图6：Hg空间分布图图7：Ni空间分布图图8：Zn空间分布图 通过比较8种重金属元素分布图与功能分布图，可以得出8种重金属元素的分布情况，如下表3： 表3: 8种重金属元素的分布元素主要分布区域工业区、西南方的公园绿地区、西南方和东南方的交通区工业区、西南方的交通区、公园绿地区、西南方和西北方的山区城区西南的工业区、少量分布在城区东北的工业区城区南部以及中部的工业区城区西南部的工业区和生活区的交接处城区西南部的交通区和工业区以及山区密集的地方城区南部的生活区以及工业区城区南部的生活区、交通区和工业区5.1.1
