平面汇交力系,力偶系

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1、1,理论力学,湖南工程学院,力学教研室,2,理论力学,第二章 平面力系,3,2）平面力系分为：1） 平面汇交力系； 2） 平面力偶系； 3） 平面平行力系； 4） 平面任意力系。 本章将研究：这些力系的简化，合成与平衡问题。,2-1 平面汇交力系,1）平面汇交力系：若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，称此力系为平面汇交力系。,第二章 平面力系,1）平面力系是指：力系中各力的作用线都在同一平面内的力系。,2）工程实例：起吊建筑构件：横梁的情形，如图所示。,3）受力图：柔性体约束力方向，三力平衡汇交。各力的作用线都在同一平面内,且汇交于一点。,4,1.平面汇交力系合成的几何法 ，力多

2、边形法则,2）为合成此力系，根据力的平行四边形法则，可逐步两两合成各力。 由F1、F2FR1，由FR1、 F3FR2 ；由FR2、F4FR。如图（b）。,a)一个封闭的力多边形abcdea: 在上述合成过程中（图（b），根据平行四边形的对边平行相等的性质，若平移各力，仅保留外边沿，即得一个封闭的力多边形，如图所示。,1）设 刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，其汇交点A，如图（a）所示。,3）力多边形法则,5,b)力多边形法则： 由此封闭的力多边形abcdea可见，上述根据平行四边形法则，两两合成各力，得到合力的过程，可以简化为力多边形，称为：力多边形法则。 力多边形法则的步骤：将

3、汇交力系中的各力首尾相连，得到不封闭的力多边形；合力FR是力多边形的封闭边。合力FR的作用线任然通过汇交点A。,c) 力多边形的形状： 在式(b)中，根据矢量加法的交换律可知，任意变换各分力矢的作图次序，可以得形状不同的力多边形，但其合力矢ae仍然不变。合力的作用线仍应通过原汇交点A。如图所示。,6,d) 将上述情形推广到n个力的平面汇交力系的情形，如图，即 平面汇交力系可简化为一个合力FR，合力的大小和方向等于各分力的矢量和，其作用线通过汇交点。即,原力系合成了一个力：合力FR，合力与原力系原力系等效。 所以，如果一力与一力系等效，此力就是原力系的合力。,e) 平面汇交力系的特例：共线力系,

4、如果力系中各力作用线均沿同一直线，比如：拔河比赛。 则此力系为共线力系，它是平面汇交系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向取决于各分力的代数和，即,7,4）几何法求平面汇交力系合力的步骤,按比例作力多边形； 量取力多边形的封闭边，按比例算出合力的大小，,2 平面汇交力系平衡的几何条件,1）根据平衡理论，力系平衡时，力系为零力系，即力系的合力为零。 故平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即,2）几何上，由图可知，力系平衡时，表现为力多边形的封闭边ae=0 ，称为：力多边形自行封闭。,所以，平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行封闭。,8,例 2-1：水平梁AB中点C作用着

5、力F，其大小等于20 kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和滚动支座B的约束力。梁的自重不计。,解： 1.取梁AB作为研究对象，画受力图。注意：三力平衡汇交定理。,2.作力多边形：由几何关系知, BCD为等边 ，又AC=CB=a, ACD为等， CAD= ACD1/2(CAD)=30O， ADB=90O， ADB为Rt。 由此作出力多边形，如图，解得：,FA = F cos30=17.3 kN；FB = F sin30=10 kN。,3）举例,当然，也可确定比例尺uF=kN/m，按比例作图，然后量出各力的长度，按照比例尺算出大小。 但一般采用这种解三角形的计算

6、方法。,9,例2-2：（教材P23题1-1g受力图)图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成q = 45角。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。,解：几何法,1.制动蹬ABD的受力图，根据三力平衡汇交定理知，它是一平面汇交力系，图b，可假设各力方向,并假设f角.,2.作力三角形图c，可校对假设的各力方向，由图 ，根据正旋定理得,10,3 平面汇交力系合成的解析法,a,力在坐标轴上的投影,如图所示，设力F作用于点A，用F=AB表示，在

7、直角坐标系Oxy中，分别向两坐标轴左垂线，得垂足cd。 其中，a，b两点的线段ab，称为力F在x轴上的投影Fx，c，d两点的线段cd，称为力F在y轴上的投影Fy。,力矢量在坐标轴上的投影为代数量，规定：力作用点的垂足a，终点的垂足b的连线指向，如果与坐标轴指向相同为正，反之为负。,b,力的解析式,11,1）合力的解析表达式,如图所示，设作用于刚体的力为n个力组成的平面汇交力系，建直角坐标系Oxy如图。 根据力系合成的几何法的结论，它们可合成一个合力FR， FR 通过汇交点O。,此合力FR的解析表达式为,式中： i, j 分别是x和y轴方向的单位矢量，FRx和FRy称为力FR在x和y轴上的投影，

8、如图所示。,2）合力投影定理,如图，汇交力系中的任意一个力都可写成：,12,表明：合力矢在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和。称为：合力投影定理。,式(d)与（2-4)比较得：,根据式（2-1)，将式(C)带入式（2-1)得：,式中：Fix和Fiy分别力Fi在x和y轴上的投影。,2）合力的大小和方向,合力FR在的大小，方向余旋，可根据投影法和投影图形求出。,13,4 平面汇交力系的平衡方程,表明：平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。它有两个独立方程，可以求解也只能求解两个求知数。,5 举例,欲使合力

9、矢FR 0，必然要使式（2-7）中，合力矢的模0，于是有,14,例 2-3：图a所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成q = 45角。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。（注：前面曾用几何法求解过，现用解析法再解一次。）,解: 1.取制动蹬ABD研究，作受力图，根据三力平衡汇交定理知，它是一平面汇交力系，假设各力方向，并设f角，建坐标系Oxy,2.列平衡方程：,由图求得,15,例 2-4：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重P =

10、20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小， 试求杆AB和BC所受的力。,解： 1.取滑轮B 轴销研究，作受力图。 杆AB,杆BC均为二力杆，假设为压力，铰车绳为柔性体，约束力为拉力F。不计滑轮尺寸，所以汇交于B 点。,2.列平衡方程：,FAB为负值，说明：该力实际指向与图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。,联立求解得,16,注：暂定每两周交一次作业，即单周第一次课后，交到三教一楼教师休息室的柜子里。,祝大家学习愉快！,请注意：布置的作业仅限习题，不含思考题。作业：2-3; 2-5;,17,2-2 平面力对点之矩 平面力偶

11、,力对刚体的运动效应包括移动和转动两种，其中移动由力矢来度量，而转动由力矩（或力偶）来度量。力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。,2）力矩的定义：如图，力F与点O位于同一平面，点O称为矩心，点O到力F作用线的距离h，称为力臂，根据工程实际，可得出力矩的定义如下：,3)力矩的计算式：力F对矩心点O之矩用Mo(F)表示,1、力对点之矩（力矩）,式中： 为三角形OAB 的面积，如图所示。,平面力对点之矩是一个代数量，力矩的大小取决于力的大小与力臂的乘积，它的正负按照力矩的转向确定：逆时针转向时为正，反之为负。,力矩的单位，由定义知为：Nm或kN m。,1）力对点之矩的概念由工程实际引出，如图所示的扳

12、手拧紧螺母的情形。,18,3）力矩的性质： 力F的作用点沿其作用线移动，不改变这力对O点的矩； 当力作用线通过矩心时，力臂为零，力矩为零。,2、合力矩定理与力矩的解析表达式,1)合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩，等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即,证明：按照力系等效的概念，合力与原力系所有各分力为等效力系，所以，它们对物体作用的效应转动效应，即力矩也相同。 (2-10)适用于任何有合力的力系。,19,2)合力矩定理的解析式：,如图，已知力F作用点（x,y），及夹角q,求MO(F):,根据合力矩定理，式（210）得,上式为：平面内力矩的解析表达式。式中：x,y为力作用点坐标

13、，Fx,Fy为力的投影，注意，式中各量应以代数量代入。,合力矩定理的解析式：将（211）带入式（210）得,分解力：,20,3）例题：如图，已知：F,q ,j 和l , 求力F对点O之矩。,解按力矩的定义求,解应用合力矩定理,解： q ,j的角度关系，如图所示。,解解析法：,21,3力偶与力偶矩,2）力偶的概念：无论哪种情况，都可用如图所示的图形来说明力偶。 力偶是两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的特殊力系。记作（F，F/）。,1）工程实例：,司机用双手转动驾驶盘，钳工用丝锥攻螺纹，用手指转动钥匙，或水龙头等，都是力偶作用的例子。力偶对物体作用的效应是使物体转动。,力偶的两力间的垂直

14、距离d，称为力偶臂。力偶所在的平面，称为力偶作用面。,22,a)力偶的两力不能合成为一个力，故力偶也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本量。,表明：平面力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，是一个代数量。用M或 M(F,F/)表示。平面力偶矩的正负号表示力偶的转向，规定：逆时针为正，顺时针为负。与力矩的符号规定相同。,力偶矩的单位为Nm，或kN.m，与力矩相同。,4）力偶的两要素：（1）力偶矩的大小；（2）力偶在作用面的转向。,3）力偶的性质,b)力偶的对物体的转动状态，用力偶矩来度量。 其值为力F与力偶臂d的乘积，即Fd。以M或 M(F,F/)表示。,c)力偶对任意点的矩，等于力偶矩F

15、d ，与矩心无关。 证明：如图，力偶M(F,F/)对任意点O的力偶矩为： M(F,F/)F/(d+x)-Fx=Fd。,5）力偶矩的计算式： M=Fd=2AABC （2-13）,23,4、同平面内力偶的等效定理,1)定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,就是：若M=FdMo=Fodo，则彼此等效。,2)由此可得两个推论：,（1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响它对于刚体的效应。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面的位置无关。,（2）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,由此可见，力偶中的力和力偶臂都

16、不是力偶的特征量，力偶矩才是唯一度量。 力偶矩常用下列符号表示，M是力偶矩。,24,5平面力偶系的合成与平衡条件,此两力偶的力偶矩分别为：M1=F1d1 ；M2= - F2d2 ，为求合成的结果，根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长d的力偶，于是得到两个新的力偶，M1，M2如图b所示。,(1) 平面力偶系的合成,如图a所示，设在刚体同一平面内有两个力偶， 力偶臂分别为d1，d2，求它们合成的结果。,两新力偶的计算式为：M1=F1d1=F3d ； M2= - F2d2= - F4 d 。,由图b可见，此两新力偶是两个共线力系，可分别合成得到作用于点A、B的力的大小为： F=F3-F4；F/=F3/-F4/。,因为 F3F3/；F4=F4/，所以，F与F/构成了与原力偶等效的合力偶：M(F,F/),25,将此合成方法，推广到任意多个力偶的合成，可得任意多个力偶的合成结果。于是得出结论：同平面内任意个力偶可以合