《常微分方程(23)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程(23)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 引论,微分方程课程的一个主要问题是求解， 即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分 表达出来，但对一般的微分方程是无法求解 的，如对一般的二元函数,，,我们无法求,出一阶微分方程：,（1）,的解，但是对于某些特殊类型的方程，我们可 设法转化为已解决的问题进行求解。,本章的主要内容,2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法,2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程的应用,2.1 线性方程,定义 一阶微分方程,称为线性方程。,（2.1.1）,若关于未知函数,和,是线性的，则,2.1.1 线性奇次方程,（2.1.2）,为线性齐次方程
2、。,若,中,时，称,求解思想：,将（2.1.2)进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。,例2.1.1 求线性奇次方程 （2.1.3） 的通解。,解：对（2.1.3）两端乘以,由于,即方程（2.1.3）的通解为：,得,故（2.1.3）等价于,2.1.2 线性非奇次方程,1.积分因子法,给方程两边乘以函数,函数的导数，,，使左边变成一个,整理得：,积分得通解：,称为方程的积分因子。,。,2.常数变易法,先求（2.1.1）对应的齐次方程的通解为：,思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。,再把通解表达式中的常数C换成一个待定函数,即令,2
3、.1.2 线性非奇次方程,线性微分方程解的性质,1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。,2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。,3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍,为非齐次方程的解。,4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。,5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程,的通解之和是非齐次方程的通解。,数，求微分方程,的,周期解。,为了使,为周期，须满足,是以,为周期的周期函数，,设,例：2.1.3,是正常,以,线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义.,我们可以利用它来研究解得性质，对解进行“估值”。,例2.1.4：设函数,在 上连续且有界,试,于是,2.1.3 Bern
4、oulli方程,求出此方程通解后,令,解法:,例2.1.5 求初值问题,取开关闭合时刻为0，则,又,故当开关闭合后，电路中的电流强度为：,例2 湖泊的污染,设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，,这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20,立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水,中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊,中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小,时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。,解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为,Bernoulli (1654 1705),(雅各布第一 伯努利)是瑞士数学 家,他家祖孙三代出过十多位数学家。 1964年他首次给出了直角坐标和极坐 标下的曲率半径公式，1965年提出了 著名的伯努利方程，1713年出版了他 的巨著猜度术，这是组合数学与 概率论史上的一件大事，书中给出的伯努利数在 很多地方有用，伯努利定理则是大数定理的最早 形式。此外，他对双纽线，悬链线和对数螺线都 有深入的研究。,
