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1、复习 第八讲 第三章 整数的性质(1) 3.1 数的整除性 3.1.1 整除的概念 1.整除的定义 对于整数a和非零自然数b，如果存在整数q,使等式 a=bq 成立, 则称b能整除a(或者a能被b整除)，记作ba. 此时a叫做b倍数，b叫做a的约数（因数） 3.1.2 数的整除性定理 1.和、差的整除性定理 定理1 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除. 定理2 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么它们的和（或差）能被这个自然数整除的充要条件是：另一个数也能被这个自然数整除.,2.积的整除性定理 定理3 如果一个自然数a能整除自然数b，b又能整除整
2、数c,那么a也能整除c.（整除的传递性） 定理4 若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，那么它们的积也能被这个自然数整除. 3.有余数除法的整除性定理 定理5 在有余数的除法里，如果被除数、除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除. 定理6 在有余数的除法里，如果除数、余数都能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除.,思考与训练 下面说法中不正确的是（ ） A.在有余数的除法里，如果被除数、除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除; B.在有余数的除法里，如果除数、余数都能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除; C.在有
3、余数的除法里，如果被除数、余数都能被同一个自然数整除，那么除数也能被这个自然数整除; D.在有余数的除法里，如果除数能被某个自然数整除，而余数不能被这个自然数整除，那么被除数也不能被这个自然数整除. （这是A的逆否命题）,c,3.1.3 数的整除特征 如果具有某个条件的数，都能被自然数b整除，反过来能被b整除的数，都具有这个条件，那么这个条件就叫做能被b整除的数的特征.即，一个数能被b整除的特征就是这个数能被b整除的充要条件. 掌握了这个特征，不必进行除法运算就能确定某个数能否被b整除. 1.能被2或5,4或25,8或125整除的数的特征 （1）能被2或5整除的数的特征是:这个数的末一位数能被
4、2或5整除. （2）能被4或25整除的数的特征是:这个数的末两位数能被4或25整除. （3）能被8或125整除的数的特征是:这个数的末三位数能被8或125整除.,2.能被9或3整除的数的特征 能被9或3整除的数的特征是:这个数的各个数位上的数的和能被9或3整除. 3.能被7、11或13整除的数的特征 能被7、11或13整除的数的特征是:这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（或反过来）能被7、11或13整除.,思考与训练 1.举出三个数，它们的和能被6整除，并且 （1）三个数都能被6整除； （2）其中一个数能被6整除，其余两个数都不能被6整除； （3）三个数都不能被6整除. 解：（
5、1）能被6整除，即能被2、3整除.根据能被2、3整除的数的特征，这三个数可以是6、12、15，还可以是18、24、30等. （2）12、13、17等.（12+13+17=42） （3）5、15、22等.（5+15+22=42）,2.不做除法，判断下列各数能否被3、9、4、125整除 50505，18404，31500， 84375, 94005，84564，64776， 99900 3.不做除法，判断下列各数能否被7、11、13整除 23419，725582，143213，209708, 19712，4325321，259867432 4.三个数分别是827,938,949，再写一个比995大
6、的三位数，使这四个数的平均数是一个整数. 解：这个数是998. 这是因为，若这四个数的平均数是一个整数，则这四个数的和的末两位数能被4整除. 要使827+938+949+99?的末两位数能被4整除，比995大的三位数末尾是8时，即827+938+949+998的末两位是12，能被4整除. 5.写出四个三位数，使它们所得余数分别是1,2,3,4. 6.写出一个能被3整除，而用9除余3的四位数.,5.写出四个三位数，使它们除以5所得余数分别是1、2、3、4. 解：这三个数分别是13. 能被5整除的数的特征是，这个三位数的末尾上的数能被5整除.要使余数分别是1、2、3、4，只要末尾上的数分别是6、7
7、、8、9即可. 6.写出一个能被3整除，而用9除余3的四位数. 解：这样的数可以是3423、5061等. 能被3、9整除的数的特征是，这个各个数位上数的和能被3、9整除.因此这个数能被3整除，被9除余3的四位数各个数位上数的和除以9余3即可.,7.选择题 （1）设三位数2a3加上326，得另一个三位数5b9,若5b9能被9整除，则a+b=( C ) A 2； B 4; C 6; D 8; E 9. （2）小于500且能同时能被5、7整除的自然数有（ ）个 A 99； B 170; C 35; D 14. 此题在命题时，自然数中没有包括0，故答案是D.不恰当. 解析：应当增加一个选项 E 15，
8、选E. 这是因为根据整除的定义 a=7q, 0a500,而在0-500之间，与7相乘是整数，且积的末尾是0或5的整数有15个，分别是0,5,10,15，.70. 这些数构成一个以5为公差的等差数列，首项是0，第n项是70.即 an=5n,n=0,1,2,.,14. （3）一梯形麦田的面积为1400平方米，高为50米，若两底的米数为整数，且都可以被8整除，求两底.此题的解有（ ）种 A 0； B 1; C 2; D 3 ; E 多与3. 解析：,7.选择题 （3）一梯形麦田的面积为1400平方米，高为50米，若两底的米数为整数，且都可以被8整除，求两底.此题的解有（ ）种 A 0； B 1; C
9、 2; D 3 ; E 多与3. 解析：设两底分别为x、y，由梯形的面积公式得 (x+y) 50 2=1400,即x+y=56 根据和的整除性质（定理2），由于x、y的和56能被8整除，且x、y都小于56，设x能8整除，进而确定y.不妨设x为8,16,32,40,48，此时满足条件的y可分别取48,40，故选C.,第九讲 第三章 整数的性质（2） 主要内容： 3.2 公约数和公倍数 3.2.1 最大公约数 3.2.2 最小公倍数 3.3 数的分解 3.3.1 质数与合数 3.3.2 分解质因数,教学目标： 1.了解公约数、公倍数的相关概念及其性质； 2.理解一些性质定理的内容及其证明的基本思路
10、; 3.了解数的分解的概念及其方法.,第九讲 第三章 整数的性质（2） 3.2 公约数和公倍数 本节内容是在整除的基础上研究整数的一些基本性质，主要包括约数、倍数及其相关概念和性质. 3.2.1 最大公约数及其性质 1.最大公约数的概念 (1)公约数：几个自然数的公有约数，叫做这几个数的公约数. 由约数的定义知一个自然数的约数集合是有限集. 16的约数集合 A=1,2,4, 8,16; 24的约数集合 B=1,2,3,4,6,8,12,24; 那么 A B =1,2,4,8=C. 可知，集合C就是自然数16与24约数集合A与B的公约数集合. (2)最大公约数:几个自然数公约数集合a1, a2,
11、., an 中最大的一个叫做这几个自然数的最大公约数.记作（a1, a2,., an ）. 例如（16,24）=8；（35,49）=7.(9,15)=3,互质数：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数是互质数. 即对于两个自然数m,n,如果（m,n）=1,那么m与n互质.(7,2)=1 例如 (2,3)=1, 2与3互质,或者说2与3是互质数； (1,2)=1, 1与2互质； (11,18)=1, 11与18互质.,2.最大公约数的性质 性质1 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质. 如果（a,b）=d,那么（ad, bd ）=1. 证明：设ad=a1, bd=b1,那么a=a1d,
12、 b=b1d, 假设（a1，b1）1，设（a1，b1）= m,(m1). 于是有 a1=a2m, b1=b2m, (a2, b2N). 所以a=a1d=a2md, b=b1d=b2md. 那么md是a,b的公约数. 又m1, mdd ,这与（a,b）=d矛盾，故（a1，b1）=1， 也就是（ad, bd ）=1. (4,8)=4,(44,84)=1,(1,2)=1,性质2 两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的约数. 如果（a,b）=d,cd,那么ca, cb. 证明： da, cd, ca.(整除的传递性) 同理 db, cd, cb.(整除的传递性) c是a,b的公约数.,3.2.2 最
13、小公倍数 1.最小公倍数的概念 (1)公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数. 由倍数的定义知一个自然数的倍数集合是无限集. 36的倍数集合 M=0,36,72,108,144,180，.; 24的倍数集合 N=0,24,48,72,96,120，144,.; 那么 M N=0,72,144,.=Q. 可知，集合Q就是自然数36与24倍数集合M与N的公倍数集合. (2)最小公倍数:几个自然数公倍数集合a1, a2,., an 中，除0以外最小的一个公倍数叫做这几个自然数的最小公倍数.记作a1, a2,., an .(数学上常用方括号表示). 例如36,24=72；4,8,14=56
14、. 再如12，18，20=180，即12、18和20的最小公倍数. 3,8=24 (3,8)=1,1.最小公倍数的性质 性质1 两个自然数的任意一个公倍数都是它们最小公倍数的倍数. 如果a,b=m，而n是a,b的任意一个公倍数，那么mn. 性质2 两个自然数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个自然数的乘积.即 如果 a,b=m,(a,b)=d.那么md=ab. 6,8=24,(6,8)=2.那么242=68. 9,15=45 , (9,15)=3, 45 3=915. 推论1 如果两个数a,b互质，那么a,b的最小公倍数等于a与b的积.即 如果（a,b）=1,那么a,b=ab. 思考：性质
15、2的结论对三个数的情况成立吗？ 答：不成立. 尽管可以有2, 3，5=30 , (2, 3，5)=1, 2 3 5=301. 但是2, 4，6=12 , (2, 4，6)=2, 2 4 6 122 2, 3，6=18 , (2, 3，6)=1, 2 3 6181,推论1 如果两个数a,b互质，那么a,b的最小公倍数等于a与b的积.即 如果（a,b）=1,那么a,b=ab. 例如（2,3）=1，那么2,3=23=6. 推论2 如果一个数d与ab的一个因数a互质，那么数d能整除这个积的充要条件是，数d能整除这个积的另一个因数b.即 如果（d,a）=1, db ，那么 dab. 例如（2,3）=1，
16、22 ，那么 223. 推论3 如果一个数m能被互质两个数a,b整除，那么m也能被a,b的积整除.即 如果（a,b）=1, am， bm，那么abm. 例如（2,3）=1，26 ，36 ，那么 223.,3.3 数的分解 数的分解是建立在因数基础上的. 3.3.1 质数与合数 质数与合数的出现是古希腊人为寻求制约数的最微小的元素而产生的.他们的产生，导致了自然数的一个分类：自然数包括质数、合数和1. 定义 除了1和本身，再没有其他因数的数称为质数，也成为素数. 例如 2, 3, 5, 11，13等. 定义 除了1和本身，还有其他因数的数称为合数. 例如 4, 6，121，等 由定义知 1既不是质数，也不是合数.,定理1 大于1的任何整数，至少有一个约数是质数. 证明：设a是大于1的整数，那么a可能是质数
