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1、第六节 极限存在准则 两个重要极限,本节概要,极限计算包含两个方面，一是判别给定极 限的存在性，二是求给定极限的值。本节讨论 的两个极限存在准则既给出了判别极限存在的 依据，也给出了计算极限的方法。 这两个重要极限是微积分的计算的基础， 微积分绝大多数计算公式都是由它们导出的。,极限运算的各种法则是通过一些简单的函数极限去 计算复杂的函数极限，对于那些最简单的函数极限则不 能根据极限运算规则进行计算，而必须直接计算。 计算极限需先确定给定极限是否存在，但判别所论 极限的存在性常常是困难的。 夹逼准则既提供了一种通 过相关函数极限判别所论函数 极限存在的方法，同时它也是 计算极限的一种方法。,设
2、在自变量的一定趋向下有 g( x ) f( x ) h( x )， 且 lim g( x )= A = lim h( x )， 则 lim f( x )存在，且有 lim f( x )= A . 由于涉及微积分公理体系，对夹逼准则不作证明， 仅给予几何说明。,夹逼准则的一般形式,(1) 夹逼准则的三种形式,如果数列 x n 、 y n 、 z n 满足下列条件 y n x n z n ； 则数列 x n 极限存在，且,准则1的条件仅是局部性要求，其间三数列 x n 、 y n 、 z n 一般项的不等式关系 y n x n z n； 并不要求对数列中一切项都成立，而只需在数列的某 一项之后成立
3、即可，即只要求存 在 N 0 ，使得当 n N 时此不等 式成立。,如果函数 f( x )、 g( x )、 h( x )满足下列条件 g( x ) f( x ) h( x )； 则函数极限 存在，且,准则1的条件仅是局部性要求，其间三函数的 不等式关系 g( x ) f( x ) h( x )并不要求对一切 x 都成 立，而只需在点 x 0 的某个邻域内成立即可，即只要 求存在 0 ，使得当x U( x 0 , ) 时此不等式成立。,如果函数 f( x )、 g( x )、 h( x )满足下列条件 g( x ) f( x ) h( x ) ； 则函数极限 存在，且,准则1 的条件仅是局部性
4、要求，其间三函数的 不等式关系 g( x ) f( x ) h( x )并不要求对一切 x 都 成立，而只需在当| x|足够大以后成立，即只要求存 在 X 0 ，使得当| x| X时此不等式成立。,(2) 夹逼准则的应用 构造优势函数,夹逼准则是利用已知极限存在的函数 g( x )、h( x ) 判别和确定所论函数 f( x )极限的存在性并求其极限。 这种已知极限存在的函数 g( x )、h( x )称为优势函数。 对具体问题而言，所论函数 f( x )是给定的，而优 势函数 g( x )、h( x )通常却是未知的，需要根据问题的 具体情况去观察和构造。 构造优势函数通常采用“缩 放法”，
5、即通过对给定函数 f( x ) 作适当放大或缩小，以构造出所 需的优势函数 g( x )、h( x ),例：求函数极限 由于函数 y = cos x 仅是个形式 表达式，不具有运算意义，故无法直接 计算其极限。 由几何直观容易看出，当 x 0 时 有 cos x 1，因此可考虑设法证明这 一结果，即证明 1 - cos x 0 . 函数 1 - cos x 的形式虽很简单，但其极限仍无法直 接计算，为此考虑通过缩放法构造优势函数，并利用夹 逼准则确定其极限。,记：f( x )= 1 - cos x，则当 0 | x | /2 时有 由此可选取优势函数 g( x )= 0 ，h( x )= 于是
6、由夹逼准则有 即求得,例：求极限 这是个无穷和的极限，由于难以将其化为有限 形式计算，故考虑通过缩放法构造优势数列求极限。 由观察可得不等式 由于 故由夹逼准则有,(1) 重要极限的导出,该极限是“0/0”型不定式，由于其分子、分母不 是同类函数，不能分离出公共无穷小，且函数 sin x 仅 是形式表达式，不具有运算意义， 故此极限形式虽然简单，却不能 用已知的极限计算法求之。 为此考虑通过单位圆中函 数 sin x 的几何意义对此极限作 直观分析，以寻求计算的方法。,作单位圆 O、圆心角COB 及辅助线 为讨论方便，不妨设 由几何直观有 三角形OBC面积 扇形OBC 面积 三角形OBD面积,
7、直接计算有 三角形OBC 的面积 扇形 OBC 的面积 三角形OBD 的面积 由此得到不等式 即有 sin x x tan x .,弧度制下,由于当 0 0 ，故由上不等式有 此不等式是偶函数不等式，故当 - /2 x /2 时 不等式也成立。 故由夹逼准则知 该重要极限的几何意义 是弧度制下圆心角OCC 所 对弧 CC 的长 2 x 与弦 CAC 的长 2sin x 之比的极限。,2sinx,(2) 此重要极限的要点及意义,该重要极限是在弧度制下导出的,由于基本不等式 sin x x tan x 是通过面积关系 建立的，而圆扇形面积计算是在弧度制下导出的，故此 极限结果是基于弧度制的。 若不
8、采用弧度制，而采用 度分秒制，此极限结果将不具 有如此简单的形式。,(3) 利用该重要极限求极限,极限 建立了三角函数与幂函数构成 的函数的“0/0”不定式极限的基本关系式，在遇到这 类不定式极限问题时，可考虑利用此结果进行计算。 具体应用时，通常是将所论的不定式通过变形或代 换将其转化为此类不定式的标准 形式，再利用此极限求得结果。 因此，用此重要极限求给定 不定式极限关键是变形和转化。,变形和转化,例：求极限 这是由三角函数构成的“0/0”型的不定式极 限的计算问题。容易想到利用重要极限 进行计算。为应用此重要极限需先将给定极限凑成重要 极限的标准形式。 因为 、 0，故有,例：求极限 这
9、是由三角函数与幂函数构成的“0/0”型的 不定式计算问题。容易想到利用重要极限 计算。为此需先将给定极限凑成重要极限的标准形式。,例：求极限 这是由三角函数与幂函数构成的“0 ”型不 定式。由于这样的不定式不便直接计算，因此考虑先将 其转化为“0/0”型不定式，再选择适当方法进行计算。 作代换 1- x = t，即 x = 1- t，则当 x 1 时，t 0 .,例：求极限 这是由三角函数构成的“0/0”型不定式。易想到 利用重要极限计算。为此先将其凑成标准形式。,作代换 ，则当 时，t 0 . 于是,沿固定方向行进的物体遇到障碍物就会停下来，这 是日常生活常识。将其抽象为一般的数学命题就是数
10、列 收敛的单调有界准则。 数列的单调性分单调增加和 单调减小两种情形，按数列变化 的单调性的不同，数列的单调有 界准则可表为两种具体形式。,(1) 单调有界准则的两种形式,若数列 x n 满足 x 1 x 2 x n x n+1，且存在 K 2，使得对一切 x n 有 x n K 2，则数列 x n 收敛。,(2) 单调有界准则的分析意义,微积分是近代数学的源头，其基本理论的建立最初 主要是源于解决实际问题，但后来的发展显出了其基础 理论的不足。经过十九世纪的公理化浪潮后，人们建立 了基于公理体系的微积分理论。这套公理体系由七条等 价公理构成，数列的单调有界准 则就是这七条等价公理之一。 单调
11、有界准则是不能独立证 明的，而只能在承认七条等价公 理之一后由其它公理导出。,单调,单调有界准则给出了一种判别数列收敛性的方法， 对于由递归式定义的数列，这一方法常是行之有效的。 此外，数列的单调有界性准则进一步揭示了数列的 三类基本性质，有界性、单调性和收敛性之间的联系。,(4) 单调有界准则的应用,单调有界准则不仅建立了一种判别数列收敛方法， 实际也给出了计算数列极限的途径。因为确定了数列的 收敛性，便可应用极限的各种运算法则求其极限。 例：设 因为 ，故这是 个递归式数列求极限问题。 由于此递归式数列给出了相邻项 x n 和 x n+1 间的关系，故可考虑采用单调有 界准则确定其极限。,
12、观察易见，该数列各项非负，即对一切 n 有 因此给定数列有下界。 因为 ，所以该数列单调减。 由单调有界准则，该数列极限存在。,证数列极限存在,求数列极限,设 ，在 两边取极限有,故求得,以上两例的解法体现了利用单调有界准则求递推 式数列极限的一般解法，它可归结为如下步骤： 判别数列是否单调有界； 若是，设所求极限为 l ，并通过在 x n 与 x n+1的关系 式两边取极限建立关于 l 的方程； 解方程求出 l 并确定数列唯一的极限值。,(1) 幂指函数概念,连续复利问题 某人以本金 A 元存入银行，设年利率为 r，则一年 后资金总额为 A + A r = A( 1+ r )(元)。 若以年
13、为单位连续计算复利，则 t 年后资金总额为 A( 1+ r )t( 元 )； 若以月为单位连续计算复利， 则 t 年后资金总额为,让连续计算复利次数 n ，则 t 年后资金总额为 由于A、 r 仅是参数，储蓄投资效益实际取决于函数 及相应的极限 由此产生了一类新的函数形式 幂指函数，它既 不同于幂函数，也不同于指数函数，其一般形式可写为,(2) 幂指函数重要极限的导出,先考察数列 的极限,验证数列的单调性,直接比较知 x n+1 x n，即数列 单调增。,验证数列的有界性,由于 x n 单调增且有上界，故极限存在。 设其极限为 e ，即有,考察函数极限,考虑通过取整函数将其化为正整数取极限的情
14、形。 对 x 1 有 x x x + 1，即,由于当 x + 时， x + ，故有 由夹逼准则求得,考察函数极限,令 x = - t，则当 x - 时，t + ，于是有 综上讨论知，对 x 为一切实数有,(3) 幂指函数重要极限的意义,极限 是幂指函数极限的基本形式， 各类幂指函数极限实际都是化为这一基本极限计算。 e = 2.71828 是个特殊无理数，它有许多奇妙性 质。例如，它揭示了三角函数和指数函数的内在联系， 以 e 为底的指数函数及对数函数具有简洁的运算性质。 此外，e 和 及 i 都有着密切 的关系，甚至数学各个领域的问 题都和数 e 有着密切的联系， 它在数学领域中的地位和作用
15、 可以和 相媲美。,(4) 利用此重要极限计算各类幂指函数的极限,极限 是一种“1”型不定式，各类 幂指型不定式极限，如“ 0”型“0 0”型都可转化为 这一基本极限形式计算。 实际应用中，为计算方便，此重要极限还可有多种 变体。例如，令 t = 1/x ，则当 x 时，t 0 ，于是 这两种重要极限形式还常以复合函数形式出现， 其一般形式可写成,例：求极限 这是“1”型幂指不定式的极限计算问题。 容易想到利用幂指型重要极限计算。为此需先设法 将给定幂指型不定式化为重要极限的标准形式。,例：求极限 这是“1”型幂指不定式的极限计算问题。 容易想到利用幂指型重要极限计算。为此需先设法 将给定幂指型不定式化为重要极限的标准形式。,
