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1、2.32.3 直线与方程直线与方程 一、一、 核心要点核心要点 1 1、 倾斜角：当直线倾斜角：当直线l与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴轴正向正向与直线与直线l向上方向向上方向之间所成的角之间所成的角叫做直叫做直 线线l的的倾斜角倾斜角；倾斜角的范围为；倾斜角的范围为 1800； 2 2、 坡度（比）坡度（比） 前进量 升高量 ； 3 3、 斜率：我们把一条直线的倾斜角斜率：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作的正切值叫做这条直线的斜率，记作tank； 备注：倾斜角是备注：倾斜角是 90的直线没有斜率；的直线没有斜率； 4 4、 已知直线上
2、两点已知直线上两点)(,(),( 21222111 xxyxPyxP的斜率计算：的斜率计算： 12 12 xx yy k ； 5 5、 中点坐标公式：已知点中点坐标公式：已知点),(),( 222111 yxPyxP，则线段，则线段 21P P中点中点M的坐标为的坐标为),( 22 2121 yyxx ； 6 6、 直线的方程：直线的方程： （1 1）点斜式方程：直线经过点点斜式方程：直线经过点),( 000 yxP，且直线斜率为，且直线斜率为k，则直线方程为，则直线方程为)( 00 xxkyy； （2 2）斜截式方程：直线斜率为斜截式方程：直线斜率为k，且直线在，且直线在y轴上的截距为轴上的
3、截距为b，则直线方程为，则直线方程为bkxy； （3 3）两点式方程：直线经过两点两点式方程：直线经过两点),(),( 222111 yxPyxP，则直线方程为，则直线方程为 12 12 1 1 xx yy xx yy ； （4 4）截距式方程：直线在截距式方程：直线在x轴及轴及y轴上的截距分别为轴上的截距分别为ba,，则直线方程为，则直线方程为1 b y a x ； （5 5）一般式方程：关于一般式方程：关于yx,的二元一次方程的二元一次方程0CByAx为直线的一般式方程；为直线的一般式方程； 备注：备注：注意各直线方程的适用范围，设直线方程前必须考虑应用前提；注意各直线方程的适用范围，设直
4、线方程前必须考虑应用前提； 除特殊要求外，所有直线方程的结果必须化为直线的一般式方程（除特殊要求外，所有直线方程的结果必须化为直线的一般式方程（） ； 7 7、 两直线两直线 2211 bxkybxky,平行与垂直的判定：平行与垂直的判定： （1 1）垂直：垂直：当一条直线当一条直线 1 k不存在时，另一条直线斜率不存在时，另一条直线斜率0 2 k； 当直线斜率当直线斜率 21 kk ,存在时，存在时，1 21 kk； （2 2）平行：平行：直线斜率直线斜率 21 kk ,均不存在，且均不存在，且 21 bb ； 当直线斜率当直线斜率 21 kk ,存在时，且存在时，且 21 bb ； （3
5、3）重合：重合：直线斜率直线斜率 21 kk ,均不存在，且均不存在，且 21 bb ； 当直线斜率当直线斜率 21 kk ,存在时，且存在时，且 21 bb ； 8 8、 两直线的交点坐标：求直线两直线的交点坐标：求直线00 22221111 CyBxAlCyBxAl:,:交点坐标，则联立方程组交点坐标，则联立方程组 2 0 0 222 111 CyBxA CyBxA ，若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条，若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条 直线无公共点，此时两条直线平行；直线无公共点，此时两条直线平行； 9 9、
6、距离公式：距离公式： （1 1）两点间的距离公式：两点两点间的距离公式：两点),(),( 222111 yxPyxP间的距离公式：间的距离公式： 2 12 2 1221 )()(|yyxxPP； 备注：原点备注：原点),( 00O与任一点与任一点),(yxP的距离的距离 22 yxOP |； （2 2）点到直线距离公式：点点到直线距离公式：点),( 000 yxP到直线到直线0CByAxl :的距离的距离 22 00 BA CByAx d | ； （3 3）两平行线间的距离：平行线两平行线间的距离：平行线00 2211 CByAxlCByAxl:,:间的距离间的距离 22 21 BA CC d
7、 | . . 二、考点突破二、考点突破 题型一：直线的方程；题型一：直线的方程； 考点一：倾斜角与斜率及截距的计算考点一：倾斜角与斜率及截距的计算 例例 1 1、已知经过点、已知经过点(0, 1)P的直线的直线l与线段与线段AB有公共点有公共点, ,若若(1, 2),(2,1)AB，则直线，则直线l斜率的取值范围为斜率的取值范围为 ；倾斜角范围为；倾斜角范围为 . . 例 1、解析：由数形结合知，直线l应处于APB内部，则 PAPB kkk 2( 1) 1, 1 0 PA k 1 1 1, 02 PB k 所以11k 由正切函数图象可知倾斜角范围为 3 0, ) 44 . 练练 1 1：已知两
8、点：已知两点),(),(2332NM，直线，直线l过点过点) 1 , 1 (P且与线段且与线段MN相交，则直线相交，则直线l的斜率的斜率k的取值范围是（的取值范围是（ ） A A 4 3 k或或4kB B 4 3 4k C C4 4 3 kD D4 4 3 k 练练 2 2：已知已知),(),(3331BA, , 直线直线l过原点过原点O且与线段且与线段AB有公共点有公共点, , 则直线则直线l l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是( ( ) ) 3 A A,3 3 3 B B,(3 3 3 0 C C,(3 2 3 D D,(3 3 3 例例 2 2、直线直线0133yx的倾斜角是的倾斜角
9、是( ( ) ) A A 0 30B B 0 60C C 0 120D D 0 135 练练 3 3：直线：直线013 yx的倾斜角为（的倾斜角为（ ） A A 6 B B 6 5 C C 3 2 D D 3 练练 4 4：直线：直线013yx的倾斜角是（的倾斜角是（ ） A A 6 B B 3 C C 3 2 D D 6 5 练练 5 5：若直线的倾斜角的余弦值为若直线的倾斜角的余弦值为 5 4 ，则与此直线垂直的直线的斜率为，则与此直线垂直的直线的斜率为( ( ) ) A AB BC CD D 4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 4 4 3 3 练练 6 6：直线直线0x的斜率
10、为（的斜率为（ ） A A0 0B B 2 C C1 1D D不存在不存在 练练 7 7：若直线：若直线l经过原点和点经过原点和点2, 2A ，则它的斜率为，则它的斜率为（ ） A A1B B1C C1或或1D D0 练练 8 8：已知直线已知直线03 yx与直线与直线01 ykx的夹角为的夹角为 60，则，则k的值为（的值为（ ） A A3或或 0 0B B3或或 0 0C C2或或 0 0D D2或或 0 0 例例 3 3、直线、直线 2 1)10()xayaR （的倾斜角的取值范围是（的倾斜角的取值范围是（ ） A A 0， 4 B B 4 3 ，) C C00， 4 （ 2 ，)D D
11、 4 ， 2 ) 4 3 ，) 练练 9 9：直线直线cos1yxR的倾斜角的取值范围是（的倾斜角的取值范围是（ ） A A0,0, 2 B B0,0, C C 4 , , 6 D D0,0, 4 4 3 , 练练 1010：如右图所示，直线如右图所示，直线 321 lll,的斜率分别为的斜率分别为 321 kkk,则（则（ ） A A 321 kkkB B 213 kkk 4 C C 231 kkkD D 123 kkk 例例 4 4、直线、直线 1 l的斜率为的斜率为2， 21 ll /，直线，直线 2 l过点过点),(11且与且与y轴交于点轴交于点P，则，则P点坐标为（点坐标为（ ） A
12、 A),( 03B B),(03C C),(30 D D),( 30 练练 1111：直线直线026 yx在在x轴和轴和y轴上的截距分别是（轴上的截距分别是（ ） A A62, B B 3 1 2 ,C C 3 1 2 ,D D12, 练练 1212：直线直线230xy在在y轴上的截距为轴上的截距为 ( ( ) ) A A3 B B 2 3 C C 2 3 D D3 考点二：直线的方程考点二：直线的方程 例例 5 5、根据所给的条件求直线的方程、根据所给的条件求直线的方程. . (1)(1) 直线过点直线过点( 4,0), ,倾斜角的正弦值为倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)(2) 直线
13、过点直线过点( 3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为，且在两坐标轴上的截距之和为 1212； (3)(3) 直线过点直线过点(5,10)，且到原点的距离为，且到原点的距离为 5.5. 解析：（1）由题意知，该直线斜率存在，设倾斜角为，则 10 sin(0), 10 则 3 10 cos 10 ，可 得 1 tan 3 k .故所求直线方程为： 1 (4) 3 yx ，即340xy或340xy. （2）由题意知，截距不为 0，可设其方程为1 12 xy aa .把( 3,4)代入得 34 1 12aa ，解得 49aa 或. 故所求直线方程为4160xy或390xy. （3）当斜率不存在时，所求
14、直线方程为50x， 当斜率存在时，设所求直线方程为10(5)yk x，即(105 )0kxyk. 由点到直线的距离公式得 2 |105 | 5 1 k k ，解得 3 4 k .故所求直线方程为34250xy. 综上可知，所求直线方程为50x或34250xy. 练练 1313：下列说法中不正确的是（下列说法中不正确的是（ ） A A点斜式点斜式)( 11 xxkyy适用于不垂直于适用于不垂直于x轴的任何直线轴的任何直线 5 B B斜截式斜截式bkxy适用于不垂直于适用于不垂直于x轴的任何直线轴的任何直线 C C两点式两点式 12 12 1 1 xx yy xx yy 适用于不垂直于适用于不垂直于x轴和轴和y轴的任何直线轴的任何直线 D D
