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1、一 圆周角定理互动课堂重难突破一、圆周角定理圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是,圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况,一是圆心在圆周角内,二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论,最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都
2、需要像这样分情况进行,后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外,通过这个定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决,如图2-1-1中,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时AOB =2C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图2-1-1左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间那样的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图2-1-1二、圆周角定理的两个推论推
3、论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-2,ABE =ACE =ADE,A =B =C.图2-1-2推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-3,ACB =ADB =AEB =90,AB是直径.图2-1-3圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据,而且对于角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法,学习中要注意体会.三、刨根问底问题1在一个圆中,圆周角与它所对的弧的对应关系,在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？探究:在圆中
4、,只要有弧,就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推论提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时,往往缺少用这个知识点的意识或困难,应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角,如图2-1-4中,已知,那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角C =D =E.也可以由角找弧,再由弧找角,如图2-1-5中,AD平分BAC,得1=2,1对,2对,3也对CD,故1=2=3,如果要证DBEDAB,无疑两个相等的角为此提供了条件. 图2-1-4 图2-1-5问题2在圆中,直径所对的圆周角等于90,解决问题时,应怎样利用这一条件？探究:只要在已知中给出了直径这一条件
5、,一是要想到它和半径的关系,还要想到封闭了它所对的圆周角,便得到了直角三角形,这样有关直角三角形的性质便可应用了.如图2-1-6,以CD为直径的O交ACD的两边于B、E,连结BE.求证:ADcosA=AB.图2-1-6此题必须先证AD、AB所在ABD为直角三角形,此时连结BD,可由直径所对的圆周角为90,创设了所需的条件.又如图2-1-7,在O中,直径ABCD,弦AECF.要证ABECDF,在知A =C,AB =CD时,缺少一个条件,由AB、CD为直径,想到连结BE、CF,便可知E =F =90,这就为证三角形全等提供了条件.活学巧用【例1】如图2-1-8,已知O中,AOB=2BOC.求证:A
6、CB=2BAC.图2-1-8思路解析:圆周角ACB与圆心角AOB对同一条弧,所以ACB =AOB,同理,BAC =BOC,再利用已知条件可得结论.证明:ACB =AOB,AOB =2BOC,ACB =BOC,BAC =BOCACB =2BAC.【例2】 如图2-1-9,已知圆心角AOB的度数为100,则圆周角ACB的度数为()图2-1-9A.80B.100C.120D.130思路解析:要求ACB,只需求所对的圆心角,然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解.解:AOB =100,所对的圆心角为260,ACB =130.故选D.【例3】如图2-1-10,以AB为直径的半圆上任取两点M和C
7、,过点M作MNAB,交AC延长线于E,交BC于F.求证:MN是NF和NE的比例中项.图2-1-10思路解析:题目即证MN2=NFNE,连结AM、BM,从而构造出RtAMB,但MN、NE、NF共线,无法由相似三角形直接证得,因此要考虑用等积式或等比式过渡.注意到MNAB,MN2=ANBN,下面只需证ANBN =NENF,这可以由AEN与BFN相似证得.证明:连结AM、BM,AB为直径,AMB =90.又MNAB,AMNMBN.MN2=ANBN.又FNAB,E +EAB =90.E =ABC.又ENA =FNB =90,AENFBN.=,即ANBN =NENF.MN2 =NENF,即MN为NE和N
8、F的比例中项.【例4】如图2-1-11,在RtABC中,BCA =90,以BC为直径的O交AB于E点,D为AC的中点,连结BD交O于F点.求证: =.图2-1-11思路解析:要证=,虽然四条线段分别在BEF与BCF中,但这两个三角形一个是钝角三角形,另一个是直角三角形,不可能相似,故只能够借助中间比.证明:连结CE,BC为O的直径,BFC =90,BEC=90.又ACB =90,BCE =A.又BF =BCE,BFE =A.BEFBAD.=.BFC =BCA,CBD=CBD,CBFDBC.=.又AD =CD,=.【例5】AB为O中的一条长为4的弦,P为O上的一动点,cosAPB =.问是否存在
9、以A、P、B为顶点的面积最大的三角形,试说明理由.若存在,求出这个三角形的面积.思路解析:因为AB为定值,要使SAPB最大,只要AB边上的高最大,所以P在弓形的最高点即可,又APB为定值,根据圆周角定理的推论,想到构造直角三角形,使其一锐角等于APB.图2-1-7解法一:存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形.图2-1-12cosAPB=,APB90.AB不是直径.过O作AB的垂线并延长,分别交优弧和劣弧的中点于P、Q,且PD、QD为弓形的高,P为优弧中点时,APB面积最大,作O直径AC,连结BC,则ABC =90,APB=C,cosAPB =cosC = =.设BC=x,则AC =3x,在
10、RtABC中,AB =4,由勾股定理AC2 =AB2+BC2,(3x)2 =42+x2,解得x =2.BC=2,AC =32. .AO =OC,AD =BD, .PD = PO + OD = + =.SAPB = ABPD =42=.解法二:同解法一,P为优弧中点时,APB面积最大.作ACPB,垂足为C,图2-1-13在RtPCA中,cosAPC=,=.设PC=x,则PA =PB =3x,AC =22x,BC =2x,在RtACB中,AB =4,由勾股定理得AC2+BC2=AB2, +(2x)2=16,解得.AC =22x=,PB =3x =.SPAB = PBAC =.任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低5
