《高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值课后导练 新人教A版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值课后导练 新人教A版选修2-3（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.1 离散型随机变量的均值课后导练基础达标1.袋中有7个白球，3个红球，现采取不放回方式取球，直到取到红球为止.以表示取球次数，则E=( )A. B. C. D.答案：A2.某随机变量的概率分布为：0123P0.1ab0.1且E=1.5，则a=_，b=_.答案：a=b=0.43.已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设为取出的次数，求的分布列及E.解析：每次取1件产品，至少需2次，即最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，=4，所以可以取2，3，4.P（=2）=；P（=3）=；P（=4）=1-.的分布
2、列如下：234PE=2P（=2）+3P（=3）+4P（=4）=.4.某工厂对2月份的奖金发放作出了如下规定：在这四周时间里有1周完成生产任务，则得奖金48元；如果有2周完成生产任务，则可得奖金80元；如果有3周完成生产任务，则可得奖金128元；如果4周都完成了生产任务，则可得奖金160元；如果4周都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每周完成任务与否是等可能的，求一工人在2月份所得奖金的期望.解析：设该工人在2月份所得奖金为，他每周完成任务的概率为，P（=0）=（）0（）4=，P（=48）=（）1（）3=P（=80）=（）2（）2=P（=128）=（）3（）=P（=160）=（）4=E=0+48
3、+80+128+160=84.5.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）求甲答对的试题数的概率分布及数学期望.（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解析：（1）的分布列如下：0123P甲答对试题数的数学期望E=0+1+2+3=.（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则P（A）=，P（B）=，甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（）=P（）P（）=（1-）（1-)=甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P（）=1-=综合运用6.某保险公司新开设了
4、一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解析：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则的分布列为：xx-aP1-pp公司每年收益的期望值为E=x（1-p）+（x-a）p=x-ap要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E=0.1a，即x-ap=0.1a，x=（0.1+p）a，应交的保险金为（0.1+p）a.7.一批商品共100件，商家称其中只有10件是次品.为检验其质量的真实情况，现从中随机地抽出5件.（1）求抽出的5件商品中次品数的分布列与期望值；（2）如果抽
5、出的5件商品中，有3件是次品，你如何评价该批商品的质量.解析：（1）按商家所说，抽出的5件商品中的次品数是随机变量，则可以取0到5的6个整数.如果抽出的5件商品中恰好有k（k=0，1，2，3，4，5）件次品，则其相应的概率为P（=k）=.按这个计算公式，并精确到0.001，则可求得的分布列是012345P0.5840.3400.0700.0060.0000.000次品数的期望值是E=00.584+10.340+20.070+30.006+40.000+50.000=0.498.这表明，通常情况下，抽出的5件商品中，只能约有半个次品.（2）由上面的分布列可知，P（=3）=0.006.可见，所抽取
6、的5件商品中有3件是次品的可能性极小，只有0.6%.如此小的概率，在一般情况下是不可能发生的.因此，商家“100件商品中只有10件次品”的说法是不可信的.8.有一个赌场，3个骰子设赌，任何人投掷一次若出现3个六点，可赢100元，否则输掉1元.问这个赌规是否公平？为什么？在上述赌规下，赌场出现了一件意外的事，有人掷出了两个六点，另一颗骰子却被突如其来的不速之客猫撞飞了，于是赌场出现了激烈的争执，赌主要求重掷，赌客当然不干，看客中说赢的，输的，平的都有，请你用概率理论作分析，提出一种对赌注（1+100=101元）作分配的公平方案.解析：该赌规不公平，因为同时掷出3个六点的概率是（）3=，若赌规规定
7、为1215就公平了.（即掷不出3个六点，输1元，掷出3个六点，赢215元）.赌事因无法预见的原因而夭折，论输赢都无依据；已出现两个六点，胜率已由提升到，说平了也不对，比较公平的方案是，将赌资（100+1=101元）按51分配，赌主留下，赌客拿走.9.一种电路控制在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把二件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出测试.（1）求前两次取出的都是二等品的概率；（2）求第二次取出的是二等品的概率；（3）用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求的分布列及数学期望.解析：（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，
8、前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的概率为.（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，第二次取出的产品是二等品的概率为.（3）的分布列为234PE=2+3+4=.拓展探究10.在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的九行铁订，钉子之间留有间隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，第9行10个铁钉之间有9个空隙（如图所示），一个玻璃球通过第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或者右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第9行的
9、某一个空隙内，最后掉入木板下方的相应槽内，玻璃球落入不同的球槽得到不同的分数在图中给出，求E（结果保留两位有效数字）.解析：本题解决的关键是读懂题意，看清图形从第1行开始，玻璃球从一个空隙往下滚，玻璃球碰到此下方的一个铁钉后以的概率落入铁钉左边空隙.同样以的概率落入铁钉右边空隙，玻璃球继续往下滚时，总有落入铁钉左边和右边空隙两种结果，直到最后掉入某一个球槽内，一共进行了8次独立重复试验，若设8次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为，则B（8，）.P（=10）=P（=0或=8）=P（=0）+P（=8）=（）0（）8+（）8（）0=，P（=8）=P（=1或=7）=P（=1）+P（=7）=（）1（
10、）7+（）7（）1=，P（=6）=P（=2或=6）=P（=2）+P（=6）=（）2（）6+（）6（）2=，P（=4）=P（=3或=5）=P（=3）+P（=5)=C38（）3（)5+（）5（）3=P（=2）=P（=4）=（）4（）4=，E=10+8+6+4+24.19.备选习题11.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的分布列和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即0）的概率.解析：（1）的可能值为：-300，
11、-100，100，300.P（=-300）=0.23=0.008P（=-100）=30.220.8=0.096P（=100）=30.20.82=0.384P（=300）=0.83=0.512所以的分布列为：-300-100100300P0.0080.0960.3840.512于是：E=（-300）0.008+（-100）0.096+1000.384+3000.512=180（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（0）=0.384+0.512=0.896.12.在一个人数很多的单位中普查某种疾病，n个人去验血，可以用两种方案进行：（1）每个人的血分别化验，这需要n次；（2）按k个人一组进行分组，
12、把k个人的血混在一起化验，如果结果是阴性的，那么这k个人只作一次化验就够了，如果结果是阳性的，那么就必须对这k个人逐一化验，即对这k个人进行k+1次化验，假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的化验是相互独立的，求按第二种方案这n个人平均需要化验的次数.点拔：第二种方案中k个人一组化验，呈阴性和呈阳性时每个人的血化验的次数为随机变量的取值，所以第二种方案这n个人平均化验的次数即为nE.解析：按第二种方案，k个人一组化验，若混合呈阴性，则一个人的血化验次，若混合呈阳性，则一个人的血化验次.又k个人的混合血化验是阴性的概率是（1-p）k，呈阳性的概率是1-（1-p）k.于是有分布列
13、P（1-p）k1-（1-p）k平均化验次数即的数学期望.E=（1-p）k+ 1-（1-p）k=1+-（1-p）k.按第二种方案这n个人平均需要化验的次数为n1+-（1-p）k.13.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）.（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望.解析：（1）记路段MN不发生堵车事件为，因为各路段发
14、生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次.所以路线ACDB中遇到堵车的概率为P1为1-P（）=1-P（）P（）P（）=1-1-p（AC）1-P（CD）1-P（DB）=1-；同理路线ACFB中遇到堵车的概率P2=1-P（）=（小于）；路线AEFB中遇到堵车的概率为P3=1-P（）=（大于）；显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择，因此选择路线ACFB可使得途中堵车事件的概率最小.（2）路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3，P（=0）=P（）=；P（=1）=P（）+P（）+P（）=；P（=2）=P（ACCF）+P（ACFB）+P（CFFB）=;P（=3）=P（ACCFFB）=E=0.答：路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为.14.据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者须交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元（a100）.问a如何确定，可
